Podrobný obsah předmětu se postupně připravuje.
- Z teorie pravděpodobnosti.
Sigma-algebra, pravděpodobnostní míra, náhodná veličina a její
rozdělení. Střední hodnota jako Lebesgueův integrál, přenos integrace,
změna míry, příklady. Nezávislost systémů jevů. Podmiňování vzhledem k
sigma-algebrám a k náhodným veličinám, podmíněné rozdělení.
- Náhodný proces. Náhodný proces a jeho trajektorie, filtrace,
markovský čas, markovská vlastnost, martingal, příklady.
- Poissonův proces.
Poissonův proces s konstantní intenzitou, rozdělení počtu událostí a
dob mezi nimi, podmíněná rozdělení.
- Martingaly.
Martingal, sub- a supermartingal, posloupnost martingalových diferencí,
příklady. Martingaly a markovské časy, náhodná procházka, Waldovy
rovnosti. Binomický model ceny finančních aktiv,
samofinancovatelné portfolio, martingalová míra.
- Wienerův proces.
Wienerův proces, transformace, zákon velkých čísel, trajektorie
Wienerova procesu, kvadratická variace. Rozdělení maxima a doby do
prvního vstupu. Markovská a martingalová vlastnost.
- Markovské řetězce s oceněním.
Markovská vlastnost. Řetězce s diskrétním časem, rozdělení budoucích
hodnot, matice pravděpodobností přechodu, Chapmanova-Kolmogorovova
rovnost, analýza podle prvního kroku. Homogenní řetězec, vícekrokové
pravděpodobnosti přechodu, limitní a stacionární rozdělení.
Ocenění přechodů, výnos a očekávaný výnos v konečném čase, průměrný
výnos v nekonečném časovém horizontu, očekávaný diskontovaný výnos,
homogenní řízení, optimální řízení, příklady.
Řetězce se spojitým časem. Intenzity přechodu, vnořený řetězec a doby
mezi přechody. Ocenění přechodů a setrvání, očekávaný výnos, řízení.
- Teorie obnovy.
Rekurentní jevy, proces obnovy, funkce obnovy, uplynulá a zbytková doba
života, základní věta o obnově. Rovnice obnovy, Blackwellova a klíčová
věta o obnově, uplynulá a zbytková doba života v ustáleném stavu.
Rekurentní proces.
- Teorie obsluhy a skladu.
Systémy obsluhy, Littleův zákon. Markovské systémy obsluhy, proces zrodu
a zániku, systém (M/M/∞), limitní rozdělení (M/M/c),
charakteristiky (M/M/1) v ustáleném stavu. Nemarkovské systémy obsluhy,
systém (M/G/∞), virtuální doba čekání v (M/G/1), charakteristiky v
ustáleném stavu. Aplikace na modely skladu apod.
- Individuální a kolektivní model teorie rizika.
Statistické ukazatele v pojištění. Individuální a kolektivní
model.
Rozdělení výší pojistných nároků. Rozdělení exponenciální, gama,
logaritmicko-normální, Weibullovo, Paretovo.
Odhady parametrů metodou maximální věrohodnosti, momentů a
kvantilů, chí-kvadrát test dobré shody.
Příklad.
Rozdělení počtu pojistných nároků. Rozdělení Poissonovo,
negativně-binomické, smíšené Poissonovo.
Odhady, příklad.
- Rozdělení celkové výše škod.
Rozdělení celkové výše škod. Složené rozdělení a jeho charakteristiky.
Složené Poissonovo rozdělení, součty složených Poissonových rozdělení.
Složené negativně-binomické rozdělení, interpretace jako složené
Poissonovo. Aproximace individuálního modelu kolektivním.
Výpočet a aproximace složeného rozdělení. Panjerův
rekurentní vztah, momenty. Aproximace posunutým rozdělením,
Edgeworthova, normální mocninná,
Gramova-Charlierova.
- Principy stanovení pojistného.
Pojistné z dlouhodobého pohledu, bezpečnostní přirážka. Princip střední
hodnoty, směrodatné odchylky, rozptylu, kvantilový, nulového užitku,
exponenciální a jejich vlastnosti.
Teorie kredibility. Homogenní a nehomogenní kolektiv rizik, kolektivní a
individuální pojistné. Americká teorie kredibility, plná a částečná
kredibilita. Bayesovská teorie kredibility, bayesovské a lineární
kredibilitní pojistné. Bühlmannův a Bühlmannův-Straubův model.
Systémy bonus-malus. Bonusové třídy, markovský řetězec, limitní
rozdělení.
Spoluúčast a zajištění. Spoluúčast kvótová a excedentní, rozdělení počtu
a výší nároků hrazených pojišťovnou. Zajištění
proporcionální, XL a SL.
Rozdělení výše nároků hrazených pojišťovnou, odhady parametrů.
- Rezervy a teorie ruinování.
Pravděpodobnost technického ruinování. Pojistné nároky jako náhodný
proces, Cramérův-Lundbergův klasický model, diferenciální rovnice pro
pravděpodobnost ruinování v konečném i nekonečném horizontu, souvislost
s modelem obsluhy (M/G/1).
Odhad pravděpodobnosti ruinování. Lundbergův vyrovnávací koeficient a
Lundbergova nerovnost, Cramérova-Lundbergova aproximace, aproximace
vyrovnávacího koeficientu. Vliv zajištění na
vyrovnávací koeficient,
proporcionální zajištění.
Rezerva na pojistná plnění a její odhad. Vývojové trojúhelníky,
stupňová a separační metody odhadu.
|
