\documentclass[12pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[czech]{babel} \usepackage{graphicx} \usepackage{a4wide} \begin{document} %zakaz deleni ve spojovniku \exhyphenpenalty 10000 \overfullrule 5pt \renewcommand{\figurename}{Fig.} \providecommand{\e}[1]{\ensuremath{\times 10^{#1}}} % Zkrácené sázení názvu tabulky a obrázku \def\partname{Oddíl}% \def\figurename{Obr.}% \def\tablename{Tab.}% \thispagestyle{empty} \begin{center} \section*{Závislost odporu vodičů na teplotě} \vskip 2cm \subsection*{František Skuhravý} \vskip 2cm \subsection*{Západočeská univerzita v Plzni} \vskip 0.5cm \subsection*{Fakulta aplikovaných věd} \end{center} \vskip 13cm \begin{flushright} datum měření: 4.4.2003 \end{flushright} \newpage %\section{Měřící potřeby} %\begin{itemize} % \item elektromagnetická míchačka % \item RLC měřič E317 % \item digitální teploměr % \item vodič v olejové lázni % \item polovodič v olejové lázni %\end{itemize} \section{Úvod do problematiky} Důležitou charakteristikou pevných látek je konduktivita $\gamma$ (dříve nazývaná měrná elektrická vodivost), která je definována Ohmovým zákonem v diferenciálním tvaru: $j=\gamma\,E$. Podle její velikosti lze látky zhruba dělit do tří skupin: {\it nevodiče} $<$ $10^{-8}$ $(\Omega\,\textrm{m})^{-1}$ $<$ {\it polovodiče} $<$ $10^{6}$ $(\Omega\,\textrm{m})^{-1}$ $<$ {\it vodiče}. Přímá úměrnost mezi proudovou hustotou $j$ a intenzitou elektrického pole $E$ je důsledkem srážek elektronů s kmitajícími atomy krystalové mříže (fonony) nebo s poruchami (příměsi, dislokace, plošné poruchy). Tyto srážky lze popsat {\it relaxační dobou} $\tau$, která udává, jak rychle se sytém narušený vnějším polem vrací do rovnováhy. V případě srážek elektronů s fonony je relaxační doba totožná se střední dobou mezi dvěma srážkami. Pro konduktivitu lze odvodit vztah: \begin{equation} \gamma = \frac{e^2\,n\,\tau}{m^\ast}=e\,n\,\mu_\textrm{n}\hspace{0.5cm}, \end{equation} kde $e$ je elementární náboj, $n$ je koncentrace elektronů, $m^\ast$ je efektivní hmotnost elektronů a $\mu_\textrm{n}$ je jejich pohyblivost. Obrovské rozdíly v hodnotách konduktivity kovů (vodiče) a polovodičů a rovněž její rozdílnou teplotní závislost vysvětluje kvantová teorie pevných látek existencí pásové struktury. Elektrony obsazují pásy dovolených energií, které jsou od sebe odděleny pásy zakáza\-ných energií (tzv. zakázané pásy). \subsection{Vodiče (kovy)} V kovech je vodivostní pás zaplněn právě do poloviny (alkalické kovy, jednomocné kovy Cu, Ag, Au, \dots) nebo se dovolené pásy překrývají (dvojmocné kovy). Teplotní závislost odporu (vodivosti) je dána teplotní závislostí relaxační doby resp. pohyblivosti. Se zvyšující se teplotou roste amplituda kmitů iontů a zvyšuje se tak pravděpodobnost srážek elektronů s ionty. Střední doba mezi dvěma srážkami (relaxační doba) klesá, a tedy klesá konduktivita kovu (roste rezistivita $\rho$). Závislost odporu kovů na teplotě lze v širokém teplotním oboru (s výjimkou nízkých teplot) dosti přesně popsat polynomem druhého stupně. Často dokonce postačí (pro nepříliš široký intervaly teplot) uvažovat pouze lineární závislost a odpor měřeného vzorku vyjádřit pomocí vztahu: \begin{equation} \label{R_vodic_na_T} R = R_0 \left[1+\alpha \left(t-t_0\right)\right]\hspace{0.5cm}, \end{equation} kde $R_0$ je odpor při teplotě $t_0 = 0\,^\circ$C a $\alpha$ je teplotní součinitel odporu. \section{Pracovní úkol} \begin{enumerate} \item Proměřte závislost odporu vodiče na teplotě tak, že změříte 10 hodnot odporu s teplotním krokem $3\,^\circ$C. \item Spočtěte průměrnou hodnotu teplotního součinitele odporu a jeho směrodatnou chy\-bu. Výsledek zapište ve tvaru $\overline{\alpha}\pm\delta\alpha$ a správně zaokrouhlete. \item Naměřenou závislost $R(t)$ znázorněte graficky a spočtěte rovnici této přímkové zá\-vis\-los\-ti lineární regresí. Z koeficientů rovnice $(R=\textrm{k}\,t+\textrm{q})$ určete srovnáním s rovnicí (\ref{R_vodic_na_T}) součinitel $\alpha$ a odpor $\textrm{R}_0$. Obě hodnoty teplotního součinitele odporu porovnejte s tabulkovou hodnotou. \end{enumerate} \section{Postup měření} Z lednice vyndáme kádinku s vodičem v olejové lázni a dáme ji na elektromagnetickou míchačku (viz Obr.~\ref{schema_experimentu}). Olejovou lázeň a RLC měřič následně propojíme pomocí svorek a na měřiči nastavíme optimální rozsah. Do olejové lázně zasuneme digitální teploměr. Olejovou lázeň zahříváme a s teplotním krokem $3\,^\circ$C postupně zaznamenáváme deset hodnot odporů. \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[width=7cm]{pict/schema_experimentu/schema_experimentu} \caption{Schematické znázornění uspořádání experimentu.} \label{schema_experimentu} \end{center} \end{figure} \section{Naměřené a vypočítané hodnoty} \renewcommand\arraystretch{2} \begin{table} \caption{Naměřené hodnoty odporů $R$, vypočítané hodnoty teplotního součinitele odporu $\alpha_\textrm{i}$, směrodatné chyby $\Delta\alpha_\textrm{i}$ a druhé mocniny směrodatné chyby $\Delta^2\alpha_\textrm{i}$ pro různé hodnoty teploty vodiče $t_\textrm{i}$.} \label{tabulka_experimentalnich_dat} \begin{center} % ** sc spreadsheet output \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $t_\textrm{i}$ [$^\circ$C] & $R_\textrm{i}$ $[\Omega]$ & $t_\textrm{i+5}$ [$^\circ$C] & $R_\textrm{i+5}$ $[\Omega]$ & $\alpha_\textrm{i}$ [K$^{-1}$] & $\Delta\alpha_\textrm{i}$ & $\Delta^2\alpha_\textrm{i}$ \\ \hline \hline 1& 8,10& 16& 8,59 & 4,050\e{-3} & 1,900\e{-4} & 3,667\e{-8} \\ \hline 4& 8,18& 19& 8,70 & 4,310\e{-3} & 7,000\e{-5} & 4,909\e{-9} \\ \hline 7& 8,29& 22& 8,80 & 4,220\e{-3} & 2,000\e{-5} & 3,402\e{-10} \\ \hline 10& 8,39& 25& 8,91 & 4,310\e{-3} & 7,000\e{-5} & 4,760\e{-9} \\ \hline 13& 8,49& 28& 9,01 & 4,310\e{-3} & 7,000\e{-5} & 5,060\e{-9} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} % ** end of sc spreadsheet output Nejdříve postupnou metodou vypočítáme hodnoty teplotního součinitele odporu $\alpha_\textrm{i}$ \begin{displaymath} \alpha_\textrm{i}=\frac{R_\textrm{i+5}-R_\textrm{i}}{R_\textrm{i}\,t_\textrm{i+5}-R_\textrm{i+5}\,t_\textrm{i}}\hspace{0.5cm} \textrm{př.: } \alpha_\textrm{i} = \frac{8,59-8,10}{8,10 \cdot 16 - 8.59 \cdot 1} = \textrm{4,050\e{-3}}\,\textrm{K}^{-1}\hspace{0.5cm}. \end{displaymath} a následně i průměrnou hodnotu $\overline{\alpha}$: \begin{displaymath} \overline{\alpha} = \frac{\sum{\alpha_\textrm{i}}}{n}=\frac{0,0212}{5}=\textrm{4,24\e{-3}}\,\textrm{K}^{-1}\hspace{0.5cm}. \end{displaymath} Vypočítáním odchylky $\Delta\alpha$ od průměrné hodnoty teplotního součinitele odporu $\overline{\alpha}$ \begin{displaymath} \Delta\alpha_\textrm{i} = |\alpha_\textrm{i}-\overline{\alpha}|\hspace{0.5cm}, \textrm{př.: } \Delta\alpha_1 = |0,00405 - 0,00424| = 1,9\e{-4}\hspace{0.5cm} \end{displaymath} a následně její druhé mocniny \begin{displaymath} \Delta^2\alpha_\textrm{i}=\left(\alpha_\textrm{i} - \overline{\alpha}\right)^2\hspace{0.5cm}, \textrm{př.:} \left(\alpha_\textrm{1} - \overline{\alpha}\right)^2 = 0,00019^2 = 3,667\e{-8}\hspace{0.5cm} \end{displaymath} lze určit chybu měření jako \begin{displaymath} \delta\alpha = \sqrt{\frac{\sum{\Delta^2\alpha}}{n\left(n-1\right)}}=\sqrt{\frac{5,183\e{-8}}{5 \left(5-1\right)}}=0.051\e{-3}\,\textrm{K}^{-1}\hspace{0.5cm} \end{displaymath} a výslednou hodnotu teplotního součinitele odporu $\alpha=\left(4,240\pm0,051\right)$\e{-3}\,K$^{-1}$. Pro ověření našeho výpočtu vykreslíme naměřené hodnoty odporu při různých teplotách do grafu (Obrázek~\ref{vodic_na_teplote}), provedeme lineární aproximaci dat \begin{displaymath} \textrm{a}_0=\frac{\sum\limits_1^n{x_\textrm{i}^2}\sum\limits_1^n{y_\textrm{i}}-\sum\limits_1^n{x_\textrm{i}y_\textrm{i}}\sum\limits_1^n{x_\textrm{i}}}{n\sum\limits_1^n{x_\textrm{i}^2}-\left(\sum\limits_1^n{x_\textrm{i}}\right)^2}=\frac{2845\cdot85,46-1264,49\cdot145}{28450-21025}=8,052\hspace{0.5cm}, \end{displaymath} \begin{displaymath} \textrm{a}_1=\frac{n\sum\limits_1^n{x_\textrm{i}y_\textrm{i}}-\sum\limits_1^n{x_\textrm{i}}\sum\limits_1^n{y_\textrm{i}}}{n\sum\limits_1^n{x_\textrm{i}^2}-\left(\sum\limits_1^n{x_\textrm{i}}\right)^2}=\frac{12644,9-145\cdot85,46}{28450-21025}=0,034\hspace{0.5cm} \end{displaymath} a získanou rovnici aproximační přímky $y = \textrm{a}_0+\textrm{a}_1\cdot x=8,052+0,034\,x$ porovnáme s teoretickým vztahem (\ref{R_vodic_na_T}) pro teplotní součinitel odporu: Pro $t_0=0$ dostáváme, že $R=\textrm{R}_0+\textrm{R}_0\,\alpha\,t\Rightarrow\textrm{R}_0=8,052\,\Omega$ a $\alpha = \frac{\textrm{a}_1}{\textrm{a}_0}=4,2\e{-3}\,\textrm{K}^{-1}$. \begin{figure}[t] \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{pict/vodic_na_teplote/Zavislost_odporu_vodice_na_teplote} \caption{Naměřená závislost odporu vodiče na teplotě (plné body) a lineární aproximace naměřených hodnot (přerušovaná čára).} \label{vodic_na_teplote} \end{center} \end{figure} \section{Závěr} Z naměřených dat odporu vodiče při různých teplotách jsme vypočítali průměrný teplotní součinitel odporu. Jeho hodnota je $\alpha= \left(4,240\pm0,051\right)$\e{-3}\,K$^{-1}$. Naměřená data jsme následně znázornili graficky a provedli jejich lineární aproximaci. Porovnáním rovnice přímky lineární aproximace a teoretické teplotní závislosti jsme určili teplotní součinitel odporu $\alpha = 4,2\e{-3}\,\textrm{K}^{-1}$ a odpor R$_0=7,668\,\Omega$. Porovnáním experimentální a tabulkové hodnoty ($\alpha = 4,33\e{-3}\,\textrm{K}^{-1}$ pro měď) můžeme říci, že provedený experiment byl vhodně navržen a proveden. \end{document}