Vlastní a vynucené kmity

1. Fyzikální základ:

Obr. 1

Harmonický oscilátor

Těleso vykonávající harmonický kmitavý pohyb nazýváme harmonický oscilátor. Může jím být v prvém přiblížení např. těleso na pružině (obr.1) nebo atom či molekula pevné látky. Jestliže při jeho pohybu zanedbáme odpor prostředí, mluvíme o netlumeném harmonickém oscilátoru. Můžeme ukázat, že kmitání je vždy harmonické, jestliže působící síla je úměrná výchylce z rovnovážné polohy a má opačný směr než výchylka.

Mějme pružinu, na jejíž protažení o r je potřebná síla F = -kr, kde k je tuhost pružiny. Pohybová rovnice harmonického oscilátoru, který je tvořen touto pružinou a závažím hmotnosti m, je −kr = ma (jako aplikace druhého Newtonova zákona ΣF = ma), tzn.

(1)

Zavedením označení ω_o = (k/m)^1/2 můžeme tuto rovnici přepsat do tvaru

(2)

Obecným řešením této rovnice je pak, uvědomíme-li si, že podle obr. 2 platí r = jy

(3)

kde y je okamžitá výchylka, A je amplituda pohybu, [A] = m, ω_o je vlastní úhlová frekvence harmonického oscilátoru (kmitavého pohybu), [ω_o] = rad.s⁻¹, a φ, [φ] = rad, je jeho počáteční fáze (obr. 2).

Obr. 2: Grafické vyjádření pohybu harmonického oscilátoru.

Pro vlastní úhlovou rychlost netlumeného harmonického oscilátoru lze psát

kde f_o je vlastní frekvence a T_o vlastní perioda harmonického oscilátoru.

Tlumený oscilátor

Při pohybu harmonického oscilátoru v reálných podmínkách působí vždy třecí síly, které amplitudu kmitavého pohybu zmenšují, a po určitém čase kmitání přestane. Takový oscilátor pak nazýváme tlumený oscilátor.

Obr. 3: Tlumený oscilátor: F je elastická síla, F_b je brzdná síla, v je okamžitá rychlost a a je okamžité zrychlení.

Třecí síla je při malých rychlostech přímo úměrná okamžité rychlosti tělesa v

(4)

neboli

(5)

Zaveďme veličinu b = k_b/(2m), která se nazývá součinitel tlumení, [b] = s⁻¹. Pro malé tlumení (b < ω_o) má rovnice (5) řešení (uvědomíme-li si znovu, že podle obr. 3 platí r = jy)

(6)

kde ω′_o = (ω_o² − b²)^1/2 je úhlová frekvence tlumeného oscilátoru.

Obr. 4: Grafické vyjádření pohybu tlumeného oscilátoru.

Vynucené kmity oscilátoru

Významným případem kmitavého pohybu je tzv. vynucené kmitání, při kterém vnější síla nutí látkový objekt kmitat s obecně jiným kmitočtem, než je kmitočet vlastních kmitů. Jestliže se však oba kmitočty k sobě přibližují, vzniká důležitý jev, který nazýváme rezonance.

Předpokládejme, že na závaží z obr. 3 působí vynucující periodická síla

(7)

Obr. 5: Tlumený oscilátor s vynucující sílou: F_v je vynucující síla, F je elastická síla,
F_b je brzdná síla, v je okamžitá rychlost a a je okamžité zrychlení.

Jestliže zvážíme všechny síly, které způsobují pohyb závaží, můžeme psát pohybovou rovnici pro pohyb v ose y

(8)

a po úpravě

(9)

Řešením této rovnice pro ω_o < b pak je

(10)

kde A_v a φ_v jsou amplituda a počáteční fáze vynucených kmitů,

(11)

(12)

Obr. 6: Grafický průběh amplitudy vynucených kmitů; A_v (viz a) a fáze vynucených kmitů φ_v (viz b)
v závislosti na úhlové frekvenci vynucující síly ω_v.

Z grafů na obr. 6 vyplývá řada zajímavých poznatků. Předně je zřejmé, že amplituda vynucených kmitů A_v (viz obr. 6–a) je funkcí frekvence vynucující síly ω_v, přičemž maximum amplitudy nastává pro tzv. resonanční frekvenci

ω′_o = (ω_o² − b²)^1/2 ,

a to s hodnotou A_v,res = F₀ / {2bm(ω_o² - b²)^1/2}. Rovněž fáze φ_v vynucených kmitů (neboli fázový posuv mezi vynucující silou F_v a výchylkou y vynucených kmitů) je závislá na frekvenci vynucující síly ω_v a při resonanci je rovna φ_v,res = -π/2. Této závislosti využijeme i pro měření přenesené energie do oscilátoru. Tento jev je v přírodě a technice velmi důležitý, protože umožňuje selektivní (výběrový) přenos energie mezi vysílačem a oscilátorem jen v určitém intervalu frekvencí nebo vlnových délek. To je na příklad základ selektivního přenosu telekomunikačních signálů nebo rovněž absorpce určitých intervalů vlnových délek záření od Slunce určitými molekulami, které by jinak dopadlo na zemský povrch .

Energie přenesená za jednotku času do oscilátoru (neboli okamžitý výkon, závislý na čase) z budícího zdroje je

(13)

Střední energie přenesená za jednu periodu kmitavého pohybu z budícího zdroje do oscilátoru je pak závislá na budící úhlové frekvenci ω_v (uvádíme bez odvození, bližší v R.B. Lindsay, Physical Mechanics, 3rd ed., Van Nostrand 1962)

(14)

Na obr. 7 je vynesena střední energie přenesená za jednu periodu kmitavého pohybu do oscilátoru z budícího zdroje v závislosti na budící úhlové frekvenci ω_v pro různé hodnoty součinitele tlumení b.

Obr. 7: Grafický průběh střední energie přenesené do oscilátoru za jednu periodu (pro různé hodnoty součinitele tlumení b, b₁ > b₂).

2. Experiment

Experimentální uspořádání vzdáleného experimentu je na obr. 8.

Obr. 8: Uspořádání experimentu vlastních a vynucených kmitů na Katedře didaktiky fyziky MFF UK v Praze.

A. KMITY TLUMENÉHO OSCILÁTORU

B. VYNUCENÉ KMITY OSCILÁTORU, RESONANCE

3. Zadání

Seznamte se s experimentem, s kmity tlumeného oscilátoru a s vynucenými kmity oscilátoru
http://kdt-17.karlov.mff.cuni.cz.
Proveďte měření tlumených kmitů oscilátoru. To lze provést tak, že po rozkmitání oscilátoru vypnete budící sílu a pozorujete kmity nebuzeného tlumeného oscilátoru. Data si uložte.
Zjistěte z několika měření vlastní frekvenci tlumeného oscilátoru
ω = (ω_o² - b²)^1/2
a rovněž tak součinitel tlumení b (z rovnice (6)).
Proveďte měření vynucených kmitů pro celý rozsah frekvence vynucující síly ω_v, data si uložte.
Vyneste závislost amplitudy vynucených kmitů A_v (viz (obr 6) (a) a rovnice (11)) na úhlové frekvenci vynucující síly ω_v. Zjistěte resonanční frekvenci ω_v,res. Vyneste do grafu.
Pokuste se vyhodnotit pro několik hodnot frekvence vynucující síly ω_v i fázi vynucených kmitů φ_v (z (obr 6) (b) a rovnice (12)). Vyneste do grafu.
Pro pokročilé: Jev vynucených kmitů a resonance je v technice a přírodě velmi často pozorován (v přírodě např. při absorpci UV záření na molekulách ozonu, v technice např. v resonančních obvodech v telekomunikacích). Zamyslete se nad přenosem energie ze strany vynucující síly do soustavy s kmitajícím závažím a pružinou. Kdy je tento přenos energie největší?
Jako budoucí učitelé diskutujte možnosti vzdálených experimentů.
Vypracujte referát s těmito body:
1. Úvod do technologie vzdáleného experimentu.
2. Fyzikální úvod jevu.
3. Popis experimentu a uspořádání, pomůcky, ukázka měřených reálných dat.
4. Dosažené výsledky.
5. Diskuse dosažených výsledků a vzdáleného experimentu.