Stefan – Boltzmann právo

Tip:	Pro orientační překlad anglických internetových stránek do češtiny můžete zkusit Překladač Britanik.

Stefan – Boltzmann právo, také známý jako právo Stefana, říká, že úplná energie zářila na oblast plošné jednotky černého tělesa v jednotkovém čase, j *, je přímo úměrný čtvrté síle thermodynamic černého tělesa teplota T:

Více obecný případ je šedého těla, jeden to neabsorbuje nebo nevydává plné množství radiative toku. Místo toho, to vyzařuje část toho, charakterizovaný jeho emissivity,?:

Nepřehlédněte: Tato stránka obsahuje strojový překlad textu z anglické encyklopedie Wikipedia. Pokud budou některé pasáže špatně srozumitelné, zkuste se podívat i na text v originále, který najdete pod odkazem Stefan–Boltzmann law. Překlad byl vytvořen pomocí překladače Eurotran.

Ozáření j^* má velikosti toku energie (energie na čas na oblast), a Si jednotky míry jsou joules za sekundu na čtvereční metr nebo equivalently, watts na čtvereční metr. Jednotka Sie pro absolutní teplotu T je kelvin. $?$ je emissivity šedého těla; jestliže to je dokonalý blackbody, $? = 1$ . Stále ve více generálovi (a realistický) případ, emissivity závisí na vlnové délce, $? =? (?)$ .

Najít úhrnu absolutní sílu energie vyzařované pro objekt, který my máme vzít v úvahu plocha povrchu, (v m2):

Konstanta úměrnosti?, nazvaný Stefan – Boltzmann konstanta nebo Stefanova konstanta, non-základní v pocitu, že to pochází z jiných známých konstant přírody. Hodnota konstanty je

kde k je Boltzmann konstanta, h je Planck konstanta, a c je rychlost světla v prázdne. Tak u 100 K energetická hustota toku je 5.67 W/m2, u 1000 K 56,700 W/m2, etc.

Právo bylo odvozeno Jožef Stefan (1835-1893) v 1879 na východisku pro experimentální měření vyrobený John Tyndall a byl odvozen z teoretických uvažování, používat termodynamiku, Ludwig Boltzmann (1844-1906) v 1884. Boltzmann zacházel s jistým ideálním tepelným motorem se světlem jako pracovní záležitost místo plynu. Právo je platné jen pro ideální černé objekty, dokonalé radiátory, volala černá tělesa. Stefan vydával toto právo v článku Über umřít Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (na vztahu mezi tepelným sáláním a teplotě) v přehledech od zasedání vídeňské akademie věd.

Původ Stefan – Boltzmann právo

Začleněnní původu intenzity

Právo může být odvozeno tím, že zvažuje malé ploché černé těleso povrch zářit ven do poloviny-koule. Tento původ používá kulaté osy, s? jak zenith úhel a? jak azimuthal se natočí; a malý byt blackbody lži povrchu na xy-letadlo, kde? =?/2.

Intenzita světla vydávaného od povrchu blackbody je dávána podle Planck zákona :

Kvantita je síla vyzařovaná povrchem oblasti přes prostorový úhel dΩ v kmitočtovém rozsahu. $I(\nu,T) ~A ~d\nu ~d\Omega$ $\left(\nu , \nu + d\nu \right) \,$

Stefan – Boltzmann právo dá moc vydávanou na jednotkovou oblast těla vysílání,

Pocházet Stefan – Boltzmann právo, my musíme začlenit? přes polovinu-koule a začlenit? od 0 k?. Dále, protože Lambert je právo cosine, intenzita pozorovaná podél koule bude aktuální intenzita měří cosine zenith úhel?, a v kulatých osách, dΩ = hřešit (?) dφ dθ.

Pak my se zapojujeme pro já:

Dělat toto základní, dělat náhradu,

který dá:

Základní napravo moci být oddělán množství cest (jeden je zahrnut ve slepém střevu tohoto článku) -- jeho odpověď je π4/15, dávat výsledek to, pro dokonalý blackbody povrch:

Alternativní forma Stefan – Boltzmann konstanta, více základní pro fyziku:

Konečně, tento důkaz vyrazil jen zvažovat malý plochý povrch. Nicméně, nějaký differentiable povrch může být zaokrouhlený skupinou malých plochých povrchů. Tak dlouho jak geometrie povrchu nepřiměje blackbody, aby reabsorb jeho vlastní radiaci, energie úhrnu vyzařovala je jen suma energií vyzařovaných každým povrchem; a úplná plocha povrchu je jen suma oblastí každého povrchu -- tak toto právo drží pro všechny konvexní blackbodies, také, tak dlouho jak povrch má stejnou teplotu během.

Thermodynamic původ

Skutečnost, že hustota energie krabice obsahovat radiaci je úměrný k $T 4$ moci být odvozen používat termodynamiku. To vyplývá z klasických electrodynamics to ozařovací tlak $P$ je příbuzný interní hustotě energie:

Úplná vnitřní energie krabice obsahující radiace může tak být psána jak:

Vkládat toto v základním thermodynamic vztahu

dá rovnici:

Tato rovnice může být používána odvodit vztah Maxwella. Od nad rovnicí to může být viděno to:

symetrie druhých derivátů $S$ w.r.t. $P$ a $V$ pak obsahuje:

Protože tlak je úměrný interní hustotě energie to závisí jen na teplotě a ne na hlasitosti. V derivátu na r.h.s. teplota je tak konstanta. Hodnotit deriváty dává diferenciální rovnici:

Toto znamená to

Příklady

Teplota slunce

S jeho právem Stefan také určil teplotu povrchu slunce. On se poučil z dat Charlesa Soret (1854 – 1904) že energetická hustota toku od slunce je 29 časů větší než energetická hustota toku ohřátého kovového lupínku. Lupínek kola byl umístěn u takový vzdálenost z měřícího přístroje že to bylo by viděné ve stejném úhlu jako slunce. Soret odhadoval teplotu lupínku být přibližně 1900 ° C k 2000 ° C. Stefan se domníval, že? energie tok od slunce je zaujatý zemskou atmosférou, tak on natáčel pro správné slunce je tok energie hodnota 3/2 časy větší, jmenovitě 29 × 3/2 = 43.5.

Přesná měření atmosférického útlumu nebyla vyrobená dokud ne 1888 a 1904. Teplota Stefan trval byl střední hodnota předchozích, 1950 ° C a absolutní thermodynamic jedněch 2200 K. jak 2.574 = ⁴³.5, to vyplývá ze zákona, že teplota slunce je 2.57 časy větší než teplota lupínku, tak Stefan dostal hodnotu 5430 ° C nebo 5700 K (moderní hodnota je 5780 K). Toto byla první rozumná hodnota pro teplotu slunce. Před tímto, cení vytyčování od jako minimum jak 1800 ° C k jak vysoce jak 13,000,000 ° C byl prohlásen. Nižší hodnota 1800 ° C byl určen Claudeem Servaisem Mathias Pouillet (1790-1868) v 1838 používání Dulong-Petit právo. Pouilett také vzal spravedlivou polovinu hodnota slunce je správný energetický tok. Snad tento výsledek připomenul Stefana to Dulong-Petit právo mohlo se porouchat zeširoka teploty.

Teplota hvězd

Teplota hvězd jiný než slunce může být zaokrouhlené použití podobného způsobu tím, že zachází s vydávanou energií jak radiací černého tělesa. Tak:

kde L je světelnost,? je Stefan – Boltzmann konstanta, R je hvězdný poloměr a T je efektivní teplota. Tato stejná rovnice může být používána počítat přibližný okruh hlavní sekvenční hvězdy vztažené ke slunci:

kde, je sluneční poloměr, a tak dále. $R_\odot$

S Stefan – Boltzmann právo, astronomové mohou snadno odvodit okruhy hvězd. Právo je také potkáno v termodynamice černých dír v takzvané odkašlávající si radiaci.

Teplota Země

Podobně my můžeme vypočítat efektivní teplotu Země TE tím, že zamění _energii přijatou od slunce a energie přenášené Zemí, pod černou-přiblížení těla:

$T_E \,$	$= T_S \sqrt{r_S\over 2 a_0 } \;$
	$= 5780 \; {\rm K} \times \sqrt{696 \times 10^{6} \; {\rm m} \over 2 \times 149.598 \times 10^{9} \; {\rm m} }$
	$\approx 279 \; {\rm K} \; ,$

kde TS je teplota _slunce, rS okruh _slunce a a0 je vzdálenost mezi Zemí a slunce. Tak končit efektivní teplotou 6 ° C na povrchu Země.

Nahoře původ je tvrdé přiblížení jen, zatímco to převezme Zemi je dokonalý blackbody. Stejný rovnováha planetární teplota by vyplývala jestliže emissivity planety a absorptivity byli redukovaní nějakým konstantním zlomkem u všech vlnových délek od té doby, co přícházející a vycházející síly by ještě odpovídaly si při stejné teplotě (tato teplota rovnováhy by už ne seděla definici efektivní teploty, nicméně).

Skutečná Země nemá toto “šedý-tělo” vlastnictví. Pozemský albedo je takový to asi 30 % incidentu sluneční záření je odráženo zpět do prostoru; odčerpávat redukovanou energii od slunce do účtu a počítat teplotu černé-radiátor těla, který by vydával to hodně záda energie do prázdna dají “efektivní teplotu”, shodný s definicí toho pojetí, asi 255 K. nicméně, vyrovnal se 30 % odraz energie slunce, mnohem větší zlomek dlouho-vyzařování vln od povrchu země je zaujaté nebo odražené v atmosféře místo toho, aby byl vyzařován pryč, skleníkotvornýma plyny, jmenovitě zalévat páru, oxid uhličitý a metanový plyn. Od emissivity (posuzovaný více v delších vlnových délkách kde Země vyzařuje) je redukován více než než absorptivity (posuzovaný více v kratších vlnových délkách radiace slunce), teplota rovnováhy je vyšší než jednoduchá černá-vypočítavost těla odhaduje, ne nižší. Jako výsledek, Země je aktuální průměrná povrchová teplota je asi 288 K, spíše než 279 K.

Slepé střevo

V jednom nad původy, pokračování základní se objevil:

Tam být množství způsobů, jak dělat tuto integraci; nějaký jednoduchý je dáván ve slepém střevu Planck právnického článku. Toto slepé střevo dělá základní integrací obrysu. Zvažovat funkci:

Používání Taylor expanze sine fungují, to by mělo být zřejmé, že koeficient k³ termín byl by přesně -J/ 6. Tím, že rozšíří obě strany v sílách $k$ , my vidíme to $J$ je bez 6 časů koeficient $k 3$ expanze série $f (k)$ . Tak, jestliže my můžeme najít uzavřený tvar pro f(k), jeho Taylor expanze dá J.

Podle pořadí, hřešit (x) je fiktivní díl eix, tak my můžeme zopakovat toto jak:

Ocenit základní v této rovnici my zvažujeme obrys základní:

kde $C (?, R)$ je obrys od $?$ k $R$ , pak k $R + 2π i$ , pak k $? + 2πi$ , pak my jdeme k věci $2πi? εi$ , vyhýbat se tyči u $2π i$ tím, že bere clockwise čtvrtinový kruh s poloměrem $?$ a centrum $2π i$ . Odtamtud my jdeme do $ε i$ , a nakonec my vrátíme se k $?$ , vyhýbat se tyči u nuly tím, že bere clockwise čtvrtinový kruh s poloměrem $?$ a nula centra.

Protože nejsou tam žádné tyče v obrysu integrace, který my máme:

My teď vezmeme limit $R\rightarrow\infty$ . V tomto limitovat příspěvek segmentu od $R$ k $R + 2π i$ inklinuje k nule. Brát spolu integrations přes segmenty od $?$ k $R$ a od $R + 2π i$ k $? + 2πi$ a používat skutečnost, že integrations přes clockwise kruhy čtvrtiny o jednoduché tyče být dán minusem $\frac{i \pi}{2}$ měří zbytky u tyčí, které my najdeme:

Strana levé ruky je součet základní od $?$ k $R$ a od $R + 2π i$ k $2πi +?$ . My můžeme přepsat integrand základní na r.h.s. takto:

Jestliže my teď vezmeme fiktivní roli obou stran Eq. (1) a vzít limit, který my najdeme: $\epsilon\rightarrow 0$

poté, co používal vztah:

Používat to expanze série $coth (x)$ je dáván:

my vidíme to koeficient $k 3$ expanze série $f (k)$ je $-\frac{\pi^{4}}{90}$ . Toto pak znamená to $J = \frac{\pi^{4}}{15}$ a výsledek

následuje.

Viz též

Odkazy

Stefan, J.: Über umřít Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur, v: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Bd. 79 (Wien 1879), S. 391-428.
Boltzmann, L.: Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend umřou Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie, v: Annalen der Physik und Chemie, Bd. 22 (1884), S. 291-294