Kde nelze úspěšně aplikovat Leviho větu.

Věta ( Leviho věta ). Nechť \((X, \mathfrak{S}, \mu)\) je prostor s mírou. Buď \(\{f_n\}_{n=1}^{\infty}\) posloupnost nezáporných \(\mu\)-měřitelných funkcí definovaných na \(D\in\mathfrak{S}\) splňující podmínku \(0\leq f_1(x) \leq f_2(x) \leq \dots\) pro \(\mu\)-skoro všechna \(x\in D\). Potom pro \(\mu\)-skoro všechna \(x\in D\) existuje limita \[ f(x)=\lim_{n\to +\infty} f_n(x)\,, \] funkce \(f\) je \(\mu\)-měřitelná, její integrál existuje a \[ \int_D f\mathrm{d}\mu = \lim_{n\to +\infty} \int_D f_n\mathrm{d}\mu\,. \]

Příklad 1 - porušení předpokladu nezápornosti v Leviho větě.

Nechť \(D=\mathbb{R}\) a \(f_n= - 1/n\). Potom \(f_n\nearrow 0\) monotónně všude v \(\mathbb{R}\). Zároveň však platí \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f_n\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} -1/n\,\mathrm{d}x = -\infty \not= 0 = \int_{-\infty}^{+\infty} 0\,\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} f\mathrm{d}x \]

Příklad 2 - porušení předpokladu nezápornosti v Leviho větě.

Nechť \(D=(-1,1)\) a \(f_n=-\frac{1}{n |x|}\) pro \(x\not=0\) a \(f_n(0)=-\infty\) pro \(n\in\mathbb{N}\). Potom \(f_n(x)\nearrow 0 = f(x)\) monotónně všude v \((-1,1)\) kromě bodu \(0\), kde platí \(f_n(0)=-\infty=f(0)\). Posloupnost tedy celá konverguje monotónně k funkci \(f\). Zároveň však platí \[ \int_{-1}^{1} f_n\mathrm{d}x = \int_{-1}^{1} -\frac{1}{n|x|}\mathrm{d}x = -\infty \not= 0 = \int_{-1}^{1} 0\,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{1} f\mathrm{d}x \]

Příklad 3 - porušení předpokladu monotónní konvergence v Leviho větě.

Nechť \(D=(0,1)\) a \[ f_n(x)= \left\{ \begin{array}{lr} 1 &\mbox{pro } \frac{1}{n+1}\leq x < 1 \\ -(n+1) \left(1-\frac{1}{n+1}\right) &\mbox{pro } 0 < x < \frac{1}{n+1} \end{array} \right.\,. \] Potom \(f_n\to 1\) bodově všude v \((0,1)\). Zároveň však platí \[ \int_{0}^{1} f_n\mathrm{d}x = \int_{0}^{1/(n+1)} -(n+1) \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\mathrm{d}x + \int_{1/(n+1)}^{1} 1 \mathrm{d}x= 0 \not= 1 \int_{0}^{1} 1 \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} f\mathrm{d}x \]

Příklad 4 - porušení předpokladu monotónní konvergence v Leviho větě.

Nechť \(D=(0,1)\) a \[ f_n(x)= \left\{ \begin{array}{lr} (n+1)^2 &\mbox{pro } x\in \left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)^2}\right) \\ 0 &\mbox{pro } x\in (0,1)\setminus\left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)^2}\right) \end{array} \right.\,. \] Potom \(f_n\to 0\) bodově všude v \((0,1)\). Zároveň však platí \[ \int_{0}^{1} f_n\mathrm{d}x = \int_{1/(n+1)}^{1/(n+1)+1/(n+1)^2} (n+1)^2 \mathrm{d}x = 1 \not= 0 \int_{0}^{1} 0 \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} f\mathrm{d}x \]