Stránka vznikla za podpory projektu Matematika pro inženýry 21. století - inovace výuky matematiky na technických školách v nových podmínkách rychle se vyvíjející informační a technické společnosti,
Reg. číslo: CZ.1.07/2.2.00/07.0332
Převod mezi kartézskou a sférickou soustavou souřadnic je dán transformačním vztahem \[\begin{aligned} x & = \rho\cos\phi\sin\vartheta\,,\quad \rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi\sin\vartheta \,, \quad \phi\in [0, 2\pi)\,, \\ z & = \rho\cos\vartheta \,, \quad \vartheta\in [0, \pi]\,. \end{aligned} \]
Inverzní tranformace je dána vztahem \[\begin{aligned} \rho & = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \phi & = \arctan2(x, y)\,, \\ \vartheta & = \arccos(z/\rho)\,, \end{aligned} \] kde \[ \arctan2(x, y)= \left\{ \begin{array}{lcr} \arctan(x/y) & & y > 0 \,,\quad x > 0\,, \\ \arctan(x/y) + \pi & & y > 0 \,,\quad x < 0\,, \\ \arctan(x/y) + \pi & & y < 0 \,,\quad x < 0\,, \\ \arctan(x/y) + 2\pi & & y < 0 \,,\quad x > 0\,, \\ \pi/2 & & y > 0 \,,\quad x = 0\,, \\ 3\pi/2 & & y < 0 \,,\quad x = 0\,, \\ \mbox{nedefinován} & & y = 0 \,,\quad x = 0\,. \end{array}\right.\]
Tato aplikace vypočte k dané trojici kartézských souřadnic \(x,y,z\) odpovídající sférické souřadnice \(\rho, \phi, \vartheta\).
Systém \(\rho\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho_0\cos\phi\sin\vartheta \\ y & = \rho_0\sin\phi\sin\vartheta \,, \quad\phi\in [0, 2\pi)\,, \\ z & = \rho_0\cos\vartheta \,, \quad\vartheta\in [0, \pi]\,, \end{aligned} \] kde \(\rho_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, +\infty)\). Systém \(\phi\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho\cos\phi_0\sin\vartheta \,, \quad\rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi_0\sin\vartheta \,, \\ z & = \rho\cos\vartheta \,, \quad\vartheta\in [0, \pi]\,, \end{aligned} \] kde \(\phi_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, 2\pi)\). Systém \(\vartheta\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho\cos\phi\sin\vartheta_0 \,, \quad\rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi\sin\vartheta_0 \,, \quad\phi\in [0, 2\pi)\\ z & = \rho\cos\vartheta_0\,, \end{aligned} \] kde \(\vartheta_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, \pi]\).
Následující aplikace zobrazuje souřadnicové nadplochy příslušné sférickým souřadnicím \(\rho, \phi, \vartheta\).
Návod. Souřadnicové nadplochy jsou dány volbou parametrů \(\rho_0, \phi_0, \vartheta_0\) na posuvnících \(\rho_0, \phi_0, \vartheta_0\). Pomocí posuvníků \(x,y,z\) umístíme bod do prostoru s kartézskými souřadnicemi \(x,y,z\). Sférické souřadnice tohoto bodu lze zjistit graficky, pokud nastavíme souřadnicové \(\rho-, \phi-, \vartheta-\)nadplochy tak, aby tento bod ležel v jejich průsečíku. Porovnejte s výše uvedeným převodníkem.
Návod. Posuvníky je možno měnit souřadnice \(\rho_0, \phi_0, \vartheta_0\) levého dolního kvádru a délku jeho stran \(h\rho, h\phi, h\vartheta\). Kvádr se nám zobrazuje na levém obrázku v prostoru souřadnic \(\rho, \phi, \vartheta\). Na pravém obrázku vidíme obraz tohoto \((\rho, \phi, \vartheta)\)-kvádru v souřadnicích \(x, y, z\) - křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami. Pod obrázkem se nám zobrazuje objem tohoto segmentu.
Návod. Levý obrázek umístění \(\rho, \phi, \vartheta\)-kvádru, prostřední obrázek sférický element - obraz \(\rho, \phi, \vartheta\)-kvádru a jeho lineární aproximace. Pravý obrázek sférický element a jeho lineární aproximace v detailu. Sférický element má v obrázku červené obrysy a jeho lineární aproximace modré obrysy. Zmenšováním hodnot \(h\rho, h\phi, h\vartheta\) se sférický element stále více přimyká ke své lineární aproximaci.
Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích: \[ \Delta u = \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho^2\frac{\partial u}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2} + \frac{1}{\rho^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} \left( \sin\vartheta\frac{\partial u}{\partial\vartheta} \right)\,. \] Výpočet Laplaceova operátoru funkce \(u(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) užitím sférických souřadnic. Protože \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), dostaneme \[u(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{1}{\rho}=u(\rho, \phi, \vartheta)\,.\] \[ \Delta u = \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho^2\frac{\partial \frac{1}{\rho}}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2 \frac{1}{\rho}}{\partial\phi^2} + \frac{1}{\rho^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} \left( \sin\vartheta\frac{\partial \frac{1}{\rho}}{\partial\vartheta} \right) = \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho^2 \frac{-1}{\rho^2}\right) + 0 + 0 = \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(-1\right) = 0\]
Převod mezi kartézskou a sférickou soustavou souřadnic je dán transformačním vztahem \[\begin{aligned} x & = \rho\cos\phi\,,\quad \rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi\,, \quad \phi\in [0, 2\pi)\,, \\ z & = z \,, \quad z\in \mathbb{R}\,. \end{aligned} \]
Tato aplikace vypočte k dané trojici kartézských souřadnic \(x,y,z\) odpovídající sférické souřadnice \(\rho, \phi, \vartheta\).
Následující aplikace zobrazuje souřadnicové nadplochy příslušné cylindrickým souřadnicím \(\rho, \phi, z\). Systém \(\rho\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho_0\cos\phi \\ y & = \rho_0\sin\phi \,, \quad \phi\in [0, 2\pi)\,, \\ z & = z \,, \quad z\in\mathbb{R}\,, \end{aligned} \] kde \(\rho_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, +\infty)\). Systém \(\phi\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho\cos\phi_0 \,, \quad \rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi_0 \,, \\ z & = z \,, \quad z\in \mathbb{R}\,, \end{aligned} \] kde \(\phi_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, 2\pi)\). Systém \(z\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho\cos\phi \,, \quad \rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi \,, \quad \phi\in [0, 2\pi)\\ z & = z_0\,, \end{aligned} \] kde \(z_0\) je pevně zvolený parametr nabývající hodnot z \(\mathbb{R}\).
Návod. Posuvníky je možno měnit souřadnice \(\rho_0, \phi_0, z_0\) levého dolního kvádru a délku jeho stran \(h\rho, h\phi, hz\). Kvádr se nám zobrazuje na levém obrázku v prostoru souřadnic \(\rho, \phi, z\). Na pravém obrázku vidíme obraz tohoto \((\rho, \phi, z)\)-kvádru v souřadnicích \(x, y, z\) - křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami. Pod obrázkem se nám zobrazuje objem tohoto segmentu.
Návod. Levý obrázek umístění \(\rho, \phi, z\)-kvádru, prostřední obrázek cylindrický element - obraz \(\rho, \phi, z\)-kvádru a jeho lineární aproximace. Pravý obrázek cylindrický element a jeho lineární aproximace v detailu. Cylindrický element má v obrázku červené obrysy a jeho lineární aproximace modré obrysy. Zmenšováním hodnot \(h\rho, h\phi, hz\) se cylindrický element stále více přimyká ke své lineární aproximaci.
Laplaceův operátor v cylindrických souřadnicích: \[ \Delta u = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho\frac{\partial u}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\,. \] Výpočet Laplaceova operátoru funkce \(u(x,y,z) = \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) užitím cylindrických souřadnic. Protože \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), dostaneme \[u(x,y,z) = \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\rho}=u(\rho, \phi, z)\,.\] \[ \Delta u = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho\frac{\partial \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\rho}}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\rho}}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\rho}}{\partial z^2} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho\frac{1}{\rho}\right) + 0 + 0 = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho}\left(1\right) = 0 \,. \]