Základní křivočaré souřadnice v \(\mathbb{R}^3\) - sférické souřadnice

interaktivní doplněk ke skriptům Herbář funkcí a Prostory funkcí a řešitelnost základních typů PDR

Petr Girg, KMA, ZČU v Plzni

Stránka vznikla za podpory projektu Matematika pro inženýry 21. století - inovace výuky matematiky na technických školách v nových podmínkách rychle se vyvíjející informační a technické společnosti,

Reg. číslo: CZ.1.07/2.2.00/07.0332

Pokud se vám následující interaktivní aplikace nezobrazí, je třeba si stáhnout a nainstalovat CDF Document Player .

Sférické souřadnice

Převodní vztahy do kartézské soustavy

Převod mezi kartézskou a sférickou soustavou souřadnic je dán transformačním vztahem \[\begin{aligned} x & = \rho\cos\phi\sin\vartheta\,,\quad \rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi\sin\vartheta \,, \quad \phi\in [0, 2\pi)\,, \\ z & = \rho\cos\vartheta \,, \quad \vartheta\in [0, \pi]\,. \end{aligned} \]

Převodní vztahy z kartézské soustavy

Inverzní tranformace je dána vztahem \[\begin{aligned} \rho & = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \phi & = \arctan_2(x, y)\,, \\ \vartheta & = \arccos(z/\rho)\,, \end{aligned} \] kde \[ \arctan_2(x, y)= \left\{ \begin{array}{lcr} \arctan(x/y) & & y > 0 \,,\quad x > 0\,, \\ \arctan(x/y) + \pi & & y > 0 \,,\quad x < 0\,, \\ \arctan(x/y) + \pi & & y < 0 \,,\quad x < 0\,, \\ \arctan(x/y) + 2\pi & & y < 0 \,,\quad x > 0\,, \\ \pi/2 & & y > 0 \,,\quad x = 0\,, \\ 3\pi/2 & & y < 0 \,,\quad x = 0\,, \\ \mbox{nedefinován} & & y = 0 \,,\quad x = 0\,. \end{array}\right.\]

Tato aplikace vypočte k dané trojici kartézských souřadnic \(x,y,z\) odpovídající sférické souřadnice \(\rho, \phi, \vartheta\).

Souřadnicové nadplochy

Systém \(\rho\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho_0\cos\phi\sin\vartheta \\ y & = \rho_0\sin\phi\sin\vartheta \,, \quad\phi\in [0, 2\pi)\,, \\ z & = \rho_0\cos\vartheta \,, \quad\vartheta\in [0, \pi]\,, \end{aligned} \] kde \(\rho_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, +\infty)\). Systém \(\phi\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho\cos\phi_0\sin\vartheta \,, \quad\rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi_0\sin\vartheta \,, \\ z & = \rho\cos\vartheta \,, \quad\vartheta\in [0, \pi]\,, \end{aligned} \] kde \(\phi_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, 2\pi)\). Systém \(\vartheta\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho\cos\phi\sin\vartheta_0 \,, \quad\rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi\sin\vartheta_0 \,, \quad\phi\in [0, 2\pi)\\ z & = \rho\cos\vartheta_0\,, \end{aligned} \] kde \(\vartheta_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, \pi]\).

Následující aplikace zobrazuje souřadnicové nadplochy příslušné sférickým souřadnicím \(\rho, \phi, \vartheta\).

Návod. Souřadnicové nadplochy jsou dány volbou parametrů \(\rho_0, \phi_0, \vartheta_0\) na posuvnících \(\rho_0, \phi_0, \vartheta_0\). Pomocí posuvníků \(x,y,z\) umístíme bod do prostoru s kartézskými souřadnicemi \(x,y,z\). Sférické souřadnice tohoto bodu lze zjistit graficky, pokud nastavíme souřadnicové \(\rho-, \phi-, \vartheta-\)nadplochy tak, aby tento bod ležel v jejich průsečíku. Porovnejte s výše uvedeným převodníkem.

Jakobián a objem omezený souřadnicovými nadplochami

\[ \left|\, \mathop{\mathrm{det}} \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial \rho} &\frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \vartheta} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} &\frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \vartheta} \\ \frac{\partial z}{\partial \rho} &\frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \vartheta} \end{array} \right) \right| = \left|\, \mathop{\mathrm{det}} \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi\sin\vartheta & -\rho \sin\phi\sin\vartheta & \rho \cos\phi\cos\vartheta \\ \sin\phi\sin\vartheta & \rho \cos\phi\sin\vartheta & \rho \sin\phi\cos\vartheta \\ \cos\vartheta & 0 & -\rho \sin\vartheta \end{array} \right) \right| = \rho^2|\sin\vartheta| \] Následující aplikace zobrazuje křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami posunutými o \(h\rho, h\phi, h\vartheta\) a vypisuje hodnotu integrálu (objem tohoto segmentu): \[ \int_{\rho_0}^{\rho_0+h\rho}\int_{\phi_0}^{\phi_0+h\phi}\int_{\vartheta_0}^{\vartheta_0+h\vartheta}\, \rho^2|\sin\vartheta| \,\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\vartheta \]

Návod. Posuvníky je možno měnit souřadnice \(\rho_0, \phi_0, \vartheta_0\) levého dolního kvádru a délku jeho stran \(h\rho, h\phi, h\vartheta\). Kvádr se nám zobrazuje na levém obrázku v prostoru souřadnic \(\rho, \phi, \vartheta\). Na pravém obrázku vidíme obraz tohoto \((\rho, \phi, \vartheta)\)-kvádru v souřadnicích \(x, y, z\) - křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami. Pod obrázkem se nám zobrazuje objem tohoto segmentu.

Sférický element versus jeho lineární aproximace

Lineární aproximace sférického elementu je rovnoběžnostěn (zde dokonce kvádr), který je určen vrcholem \((\rho\cos\phi\sin\vartheta, \rho\sin\phi\sin\vartheta, \rho\cos\vartheta)^{\top}\) a třemi vektory \(h\rho\vec{e}_{\rho}, h\phi\vec{e}_{\phi}, h\vartheta\vec{e}_{\vartheta}\), kde \[ \begin{array}{l} \vec{e}_{\rho}&\stackrel{\mathrm{\small{def}}}{=}& \left( \frac{\partial x}{\partial\rho}, \frac{\partial y}{\partial\rho}, \frac{\partial z}{\partial\rho} \right)^{\top} = \left(\cos\phi\sin\vartheta, \sin\phi\sin\vartheta, \cos\vartheta\right)^{\top} \\ \vec{e}_{\phi}&\stackrel{\mathrm{\small{def}}}{=}& \left( \frac{\partial x}{\partial\phi}, \frac{\partial y}{\partial\phi}, \frac{\partial z}{\partial\phi} \right)^{\top} = \left(-\rho\sin\phi\sin\vartheta, \rho\cos\phi\sin\vartheta, 0\right)^{\top} \\ \vec{e}_{\vartheta}&\stackrel{\mathrm{\small{def}}}{=}& \left( \frac{\partial x}{\partial\vartheta}, \frac{\partial y}{\partial\vartheta}, \frac{\partial z}{\partial\vartheta} \right)^{\top} = \left(\rho\cos\phi\cos\vartheta, \rho\sin\phi\cos\vartheta, -\sin\vartheta\right)^{\top} \end{array} \] a \(h\rho, h\phi, h\vartheta\) jsou reálná čísla.

Návod. Levý obrázek umístění \(\rho, \phi, \vartheta\)-kvádru, prostřední obrázek sférický element - obraz \(\rho, \phi, \vartheta\)-kvádru a jeho lineární aproximace. Pravý obrázek sférický element a jeho lineární aproximace v detailu. Sférický element má v obrázku červené obrysy a jeho lineární aproximace modré obrysy. Zmenšováním hodnot \(h\rho, h\phi, h\vartheta\) se sférický element stále více přimyká ke své lineární aproximaci.

Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích:

Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích: \[ \Delta u = \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho^2\frac{\partial u}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2} + \frac{1}{\rho^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} \left( \sin\vartheta\frac{\partial u}{\partial\vartheta} \right)\,. \] Výpočet Laplaceova operátoru funkce \(u(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) užitím sférických souřadnic. Protože \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), dostaneme \[u(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{1}{\rho}=u(\rho, \phi, \vartheta)\,.\] \[ \Delta u = \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho^2\frac{\partial \frac{1}{\rho}}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2 \frac{1}{\rho}}{\partial\phi^2} + \frac{1}{\rho^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} \left( \sin\vartheta\frac{\partial \frac{1}{\rho}}{\partial\vartheta} \right) = \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho^2 \frac{-1}{\rho^2}\right) + 0 + 0 = \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(-1\right) = 0\]