Stránka vznikla za podpory projektu Matematika pro inenýry 21. století - inovace výuky matematiky na technických kolách v nových podmínkách rychle se vyvíjející informační a technické společnosti,
Reg. číslo: CZ.1.07/2.2.00/07.0332
Převod mezi kartézskou a sférickou soustavou souřadnic je dán transformačním vztahem x=ρcosϕsinϑ,ρ∈[0,+∞),y=ρsinϕsinϑ,ϕ∈[0,2π),z=ρcosϑ,ϑ∈[0,π].
Inverzní tranformace je dána vztahem ρ=√x2+y2+z2ϕ=arctan2(x,y),ϑ=arccos(z/ρ), kde arctan2(x,y)={arctan(x/y)y>0,x>0,arctan(x/y)+πy>0,x<0,arctan(x/y)+πy<0,x<0,arctan(x/y)+2πy<0,x>0,π/2y>0,x=0,3π/2y<0,x=0,nedefinovány=0,x=0.
Tato aplikace vypočte k dané trojici kartézských souřadnic x,y,z odpovídající sférické souřadnice ρ,ϕ,ϑ.
Systém ρ-ploch je dán rovnicemi x=ρ0cosϕsinϑy=ρ0sinϕsinϑ,ϕ∈[0,2π),z=ρ0cosϑ,ϑ∈[0,π], kde ρ0 je pevně zvolený parametr v rozsahu [0,+∞). Systém ϕ-ploch je dán rovnicemi x=ρcosϕ0sinϑ,ρ∈[0,+∞),y=ρsinϕ0sinϑ,z=ρcosϑ,ϑ∈[0,π], kde ϕ0 je pevně zvolený parametr v rozsahu [0,2π). Systém ϑ-ploch je dán rovnicemi x=ρcosϕsinϑ0,ρ∈[0,+∞),y=ρsinϕsinϑ0,ϕ∈[0,2π)z=ρcosϑ0, kde ϑ0 je pevně zvolený parametr v rozsahu [0,π].
Následující aplikace zobrazuje souřadnicové nadplochy přísluné sférickým souřadnicím ρ,ϕ,ϑ.
Návod. Souřadnicové nadplochy jsou dány volbou parametrů ρ0,ϕ0,ϑ0 na posuvnících ρ0,ϕ0,ϑ0. Pomocí posuvníků x,y,z umístíme bod do prostoru s kartézskými souřadnicemi x,y,z. Sférické souřadnice tohoto bodu lze zjistit graficky, pokud nastavíme souřadnicové ρ−,ϕ−,ϑ−nadplochy tak, aby tento bod leel v jejich průsečíku. Porovnejte s výe uvedeným převodníkem.
Návod. Posuvníky je mono měnit souřadnice ρ0,ϕ0,ϑ0 levého dolního kvádru a délku jeho stran hρ,hϕ,hϑ. Kvádr se nám zobrazuje na levém obrázku v prostoru souřadnic ρ,ϕ,ϑ. Na pravém obrázku vidíme obraz tohoto (ρ,ϕ,ϑ)-kvádru v souřadnicích x,y,z - křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami. Pod obrázkem se nám zobrazuje objem tohoto segmentu.
Návod. Levý obrázek umístění ρ,ϕ,ϑ-kvádru, prostřední obrázek sférický element - obraz ρ,ϕ,ϑ-kvádru a jeho lineární aproximace. Pravý obrázek sférický element a jeho lineární aproximace v detailu. Sférický element má v obrázku červené obrysy a jeho lineární aproximace modré obrysy. Zmenováním hodnot hρ,hϕ,hϑ se sférický element stále více přimyká ke své lineární aproximaci.
Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích: Δu=1ρ2∂∂ρ(ρ2∂u∂ρ)+1ρ2sin2ϑ∂2u∂ϕ2+1ρ2sinϑ∂∂ϑ(sinϑ∂u∂ϑ). Výpočet Laplaceova operátoru funkce u(x,y,z)=1√x2+y2+z2 uitím sférických souřadnic. Protoe ρ=√x2+y2+z2, dostaneme u(x,y,z)=1√x2+y2+z2=1ρ=u(ρ,ϕ,ϑ). Δu=1ρ2∂∂ρ(ρ2∂1ρ∂ρ)+1ρ2sin2ϑ∂21ρ∂ϕ2+1ρ2sinϑ∂∂ϑ(sinϑ∂1ρ∂ϑ)=1ρ2∂∂ρ(ρ2−1ρ2)+0+0=1ρ2∂∂ρ(−1)=0