Processing math: 100%

Základní křivočaré souřadnice v R3 - sférické souřadnice

interaktivní doplněk ke skriptům Herbář funkcí a Prostory funkcí a řešitelnost základních typů PDR

Petr Girg, KMA, ZČU v Plzni


Stránka vznikla za podpory projektu Matematika pro inženýry 21. století - inovace výuky matematiky na technických školách v nových podmínkách rychle se vyvíjející informační a technické společnosti,

Reg. číslo: CZ.1.07/2.2.00/07.0332



Pokud se vám následující interaktivní aplikace nezobrazí, je třeba si stáhnout a nainstalovat CDF Document Player .



Sférické souřadnice

Převodní vztahy do kartézské soustavy

Převod mezi kartézskou a sférickou soustavou souřadnic je dán transformačním vztahem x=ρcosϕsinϑ,ρ[0,+),y=ρsinϕsinϑ,ϕ[0,2π),z=ρcosϑ,ϑ[0,π].

Převodní vztahy z kartézské soustavy

Inverzní tranformace je dána vztahem ρ=x2+y2+z2ϕ=arctan2(x,y),ϑ=arccos(z/ρ), kde arctan2(x,y)={arctan(x/y)y>0,x>0,arctan(x/y)+πy>0,x<0,arctan(x/y)+πy<0,x<0,arctan(x/y)+2πy<0,x>0,π/2y>0,x=0,3π/2y<0,x=0,nedefinovány=0,x=0.

Tato aplikace vypočte k dané trojici kartézských souřadnic x,y,z odpovídající sférické souřadnice ρ,ϕ,ϑ.

Souřadnicové nadplochy

Systém ρ-ploch je dán rovnicemi x=ρ0cosϕsinϑy=ρ0sinϕsinϑ,ϕ[0,2π),z=ρ0cosϑ,ϑ[0,π], kde ρ0 je pevně zvolený parametr v rozsahu [0,+). Systém ϕ-ploch je dán rovnicemi x=ρcosϕ0sinϑ,ρ[0,+),y=ρsinϕ0sinϑ,z=ρcosϑ,ϑ[0,π], kde ϕ0 je pevně zvolený parametr v rozsahu [0,2π). Systém ϑ-ploch je dán rovnicemi x=ρcosϕsinϑ0,ρ[0,+),y=ρsinϕsinϑ0,ϕ[0,2π)z=ρcosϑ0, kde ϑ0 je pevně zvolený parametr v rozsahu [0,π].

Následující aplikace zobrazuje souřadnicové nadplochy příslušné sférickým souřadnicím ρ,ϕ,ϑ.

Návod. Souřadnicové nadplochy jsou dány volbou parametrů ρ0,ϕ0,ϑ0 na posuvnících ρ0,ϕ0,ϑ0. Pomocí posuvníků x,y,z umístíme bod do prostoru s kartézskými souřadnicemi x,y,z. Sférické souřadnice tohoto bodu lze zjistit graficky, pokud nastavíme souřadnicové ρ,ϕ,ϑnadplochy tak, aby tento bod ležel v jejich průsečíku. Porovnejte s výše uvedeným převodníkem.

Jakobián a objem omezený souřadnicovými nadplochami

|det(xρxϕxϑyρyϕyϑzρzϕzϑ)|=|det(cosϕsinϑρsinϕsinϑρcosϕcosϑsinϕsinϑρcosϕsinϑρsinϕcosϑcosϑ0ρsinϑ)|=ρ2|sinϑ| Následující aplikace zobrazuje křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami posunutými o hρ,hϕ,hϑ a vypisuje hodnotu integrálu (objem tohoto segmentu): ρ0+hρρ0ϕ0+hϕϕ0ϑ0+hϑϑ0ρ2|sinϑ|dρdϕdϑ

Návod. Posuvníky je možno měnit souřadnice ρ0,ϕ0,ϑ0 levého dolního kvádru a délku jeho stran hρ,hϕ,hϑ. Kvádr se nám zobrazuje na levém obrázku v prostoru souřadnic ρ,ϕ,ϑ. Na pravém obrázku vidíme obraz tohoto (ρ,ϕ,ϑ)-kvádru v souřadnicích x,y,z - křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami. Pod obrázkem se nám zobrazuje objem tohoto segmentu.

Sférický element versus jeho lineární aproximace

Lineární aproximace sférického elementu je rovnoběžnostěn (zde dokonce kvádr), který je určen vrcholem (ρcosϕsinϑ,ρsinϕsinϑ,ρcosϑ) a třemi vektory hρeρ,hϕeϕ,hϑeϑ, kde eρdef=(xρ,yρ,zρ)=(cosϕsinϑ,sinϕsinϑ,cosϑ)eϕdef=(xϕ,yϕ,zϕ)=(ρsinϕsinϑ,ρcosϕsinϑ,0)eϑdef=(xϑ,yϑ,zϑ)=(ρcosϕcosϑ,ρsinϕcosϑ,sinϑ) a hρ,hϕ,hϑ jsou reálná čísla.

Návod. Levý obrázek umístění ρ,ϕ,ϑ-kvádru, prostřední obrázek sférický element - obraz ρ,ϕ,ϑ-kvádru a jeho lineární aproximace. Pravý obrázek sférický element a jeho lineární aproximace v detailu. Sférický element má v obrázku červené obrysy a jeho lineární aproximace modré obrysy. Zmenšováním hodnot hρ,hϕ,hϑ se sférický element stále více přimyká ke své lineární aproximaci.

Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích:

Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích: Δu=1ρ2ρ(ρ2uρ)+1ρ2sin2ϑ2uϕ2+1ρ2sinϑϑ(sinϑuϑ). Výpočet Laplaceova operátoru funkce u(x,y,z)=1x2+y2+z2 užitím sférických souřadnic. Protože ρ=x2+y2+z2, dostaneme u(x,y,z)=1x2+y2+z2=1ρ=u(ρ,ϕ,ϑ). Δu=1ρ2ρ(ρ21ρρ)+1ρ2sin2ϑ21ρϕ2+1ρ2sinϑϑ(sinϑ1ρϑ)=1ρ2ρ(ρ21ρ2)+0+0=1ρ2ρ(1)=0