Informace o FYA3

literatura:

Arthur Beise: Concepts of modern physics (IV. vydání)
Leonard I. Schiff: Quantum Mechanics (III. vydání)

Klasická fyzika

Vše do konce 19. století. Dva základní pilíře:

(1) Newtonova mechanika

Definuje se hybnost $\vec p$ :
$\vec p {^{def}\atop =} m \cdot \frac{\vec{dr}}{dt}$
Základní pohybová rovnice mechaniky:

$\frac{\vec{dp}}{dt} = \underbrace{- \vec\nabla U(\vec r)}$

$\vec F$

Poznámka:
$\vec\nabla = (\frac\partial{\partial x}, \frac\partial{\partial y},\frac\partial{\partial z})$

(2) Maxwellova teorie elektromagnetického pole

Rychlost elektromagnetického vlnění ve vakuu:
$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$
$$\varepsilon_0 \dots$ elektrická permitivita vakua$
$$\mu_0 \dots$ magnetická permeabilita vakua$
Frekvence elektromagnetické vlny:
$\nu = \frac{c}{\lambda}$
Pro velikosti vektorů elektrické intenzity a magnetické indukce platí:
$\vert\vec E\vert = c \cdot \vert \vec B \vert$

Maxwellovy základní pohybové rovnice

$\vec\nabla\times\vec E = - \frac{\partial\vec B}{\partial t}$
$\vec\nabla\times\vec B = \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$
$\nabla\cdot\vec B = 0$
$\nabla\cdot\vec E = 0$
Z těchto rovnic plynou dva základní důsledky:

1) Vztah pro celkovou energii elektromagnetického pole

$\xi = \int w dV$ , $w=\frac{1}{2\mu_0}\langle B^2\rangle+\frac{1}{2}\varepsilon_0\langle E^2\rangle$ ,
kde $\langle B^2\rangle$ a $\langle E^2\rangle$ vyjadřuje střední hodnoty, pro které platí:
$\langle B^2\rangle = \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}(B_0\sin\omega t)^2dt = B_0^2\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin^2\omega t dt = \frac{1}{2}B_0^2$
A analogicky:
$\langle E^2\rangle = \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}(E_0\sin\omega t)^2dt = E_0^2\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin^2\omega t dt = \frac{1}{2}E_0^2$

w	...	objemová hustota energie
$\frac{2\pi}{\omega}$	...	délka jedné periody
$B_0\sin\omega t$	...	okamžitá hodnota indukce v čase t

2) Larmorův vztah - "vyzařovací rovnice antény"

Vyjadřuje, jak se mění celková energie elektromagnetického pole:

$\frac{\partial\xi}{\partial t} = -\frac{2}{3}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{c^3}({\frac{d^2\vec r}{dt^2}})^2$

Pohyb elektromagnetického vlnění je spojen s přenosem energie - mluvíme o záření. Druhy záření rozlišujeme podle vlnových délek:
Elektromagnetické spektrum 10^-14..10^4 metru

Elektromagnetické spektrum 10^-14..10^4 metru

_{Obrázek převzat z http://violet.pha.jhu.edu/~wpb/spectroscopy/em_spec.html}

FAKTA, SVĚDČÍCÍ O NUTNOSTI REVIZE KLASICÉ FYZIKY

Vše začalo zkoumáním tepelného záření tuhých těles.
Záření se popisuje pomocí veličiny zvané intenzita záření (I):

$I{^{def}\atop =}\frac{\Delta\xi_{elmag}}{S\cdot\Delta t}$

Intenzita záření je energie, která projde jednotkou plochy za jednotku času.

Za dobu $\Delta t$ projde plochou S elektromagnetická energie obsažené v kvádru o objemu $\Delta V=Sc\Delta t$ .
$\Delta\xi_{elmag}=w\cdot S\cdot c\cdot\Delta t$
$I=\frac{\Delta\xi_{elmag}}{S\Delta t}=w\cdot c$

$I=(\frac{1}{4\mu_0}B_0^2+\frac{1}{4}\varepsilon_0E_0^2)\cdot c$

Intenzita závisí na rychlosti šíření elektromagnetické vlny a na amplitudách...(zbytek jsou konstanty popisující prostředí).
Nezávisí zde na frekvenci záření.

(1) Záření absolutně černého tělesa

Stefan a Boltzman zjistili, že tuhá tělesa vydávají záření, pro jehož intenzitu platí:

$I=e\cdot\sigma\cdot T^4$

- Stefan-Boltzmanův zákon

T	...	absolutní teplota tělesa
$\sigma$	...	univerzální konstanta 5,67 * 10^-8 [W m^-2 K^-4] (Stefan-Boltzmanova konstanta)
e	...	emisivita povrchu tělesa (podíl vlastního záření tělesa k celkovému záření, které obsahuje záření odražené z vnějšku)

Extrémní případy emisivity povrchu:

e=0	...	těleso vůbec nevyzařuje vlastní záření, veškeré jeho záření pochází z odrazu vnějšího záření ("absolutně bílé těleso", totální reflektor)
e=1	...	veškeré záření pochází ze samotného tělesa, vnější záření je zcela absorbováno (totální absorbér, "absolutně černé těleso")

Pro reálná tělesa platí: 0<e<1

materiál	e
leštěná ocel	0,07
zoxidovaná mosaz	0,60
nátěr	0,97

Model absolutně černého tělesa

Bylo by dobré mít model "téměř" absolutně černého tělesa. Používaný model:
Jednoduchý model AČT

U tohoto modelu je e=0,999, bez ohledu na materiálu, z něhož je stěna dutiny.
Tento model je optimální realizovatelné přiblížení k absolutně černému tělesu.
Takovýto objekt budeme nazývat absolutně černé těleso (AČT).
Stefan-Boltzmanův zákon pro absolutně černé těleso:
$I=\sigma\cdot T^4$

Spektrální rozdělení

Záření absolutně černého tělesa obsahuje všechny vlnové délky (frekvence) z celého spektra elektromagnetického záření, tzn. $0<\lambda<\infty$ ( $0<\nu<\infty$ ).
Zavádíme proto veličinu zvanou spektrální rozdělení intenzity záření, která udává, jaká část celkové intenzity připadá na záření s vlnovými délkami v intervalu $(\lambda, \lambda+d\lambda)$ , resp. frekvencemi v intervalu $(\nu, \nu+d\nu)$ .
Spektrální rozdělení intenzity budeme logicky značit $\frac{dI}{d\lambda}(\lambda)$ nebo $\frac{dI}{d\nu}(\nu)$
Poznámka:
Zřejmě platí $\int_0^\infty\frac{dI}{d\lambda}d\lambda = \int_0^\infty\frac{dI}{d\nu}d\nu = I$

Spektrální rozdělení intenzity záření absolutně černého tělesa v závislosti na frekvenci bylo experimentálně důkladně proměřeno a výsledky jsou následující:
Spektrální rozdělení záření AČT

T₁, T₂ ... teploty absolutně černého tělesa

Empiricky se zjistilo, že obecně platí:

$\nu^{max} = const\cdot T$
- Wienův posunovací zákon

Pro grafické znázornění funkcí $\frac{dI}{d\nu}(\nu)$ zavádíme termín vyzařovací křivky.

Ukážeme nyní vyzařovací křivky při různých teplotách pro konkrétní tělesa:

Vyzařovací křivky

Problém je v tom, že žádnou kombinací zákonitostí klasické fyziky se výše uvedený tvar vyzařovacích křivek nepodařilo vysvětlit.

Klasická fyzika uměla říci toto:

Záření AČT vzniká harmonickým kmitáním molekul či atomů, z nichž se AČT skládá. Každá částice je harmonický oscilátor, který vyzařuje elektromagnetickou energii podle Larmourovy formule.
Střední hodnota energie vyzářené jedním harmonickým oscilátorem za jednotku času při teplotě T je $\varepsilon_{stř}=k\cdot T$ , k=1,381 * 10^-23 [J K^-1] - Boltzmanova konstanta (poznatek z termodynamiky)
Střední počet harmonických oscilátorů rozmístěných na jednotce plochy AČT a vysílajících záření s frekvencemi v intervalu $(\nu, \nu+d\nu)$ je:
$dN(\nu)=\frac{8\pi}{c^3}V\nu^2d\nu$

c ... rychlost světla

V ... objem absolutně černého tělesa

$d\nu$ ... šířka intervalu záření

Součin $\varepsilon\cdot dN(\nu)$ představuje střední energii v intervalu frekvencí $(\nu, \nu+d\nu)$ , kterou za jednotku času vyzáří harmonické oscilátory rozmístěné na jednotce plochy povrchu absolutně černého tělesa. Jedná se o intenzitu záření:

$dI(\nu)=\varepsilon_{stř}\cdot dN(\nu)$

$dI(\nu)=k\cdot T\cdot\frac{8\pi}{c^3}V\nu^2dV$

$\frac{dI}{d\nu}(\nu)=\frac{8\pi}{c^3}VkT\nu^2$

- Rayleight-Jeansův vyzařovací zákon (RJ-zákon)

Ultrafialová katastrofa

Další problém upozorňující na nedostatečnost klasické fyziky je fotoelektrický jev.

(2) Fotoelektrický jev

$\frac{dn}{dt}$ - počet elektronů vylétnuvších z kovu za jednotku času
E_kin - kinetická energie vyletujících elektronů

Počet elektronů $\frac{dn}{dt}$

Co se očekávalo	Co se měřilo
	platí: $\frac{dn}{dt}=const\cdot I$ také platí: $\frac{dn}{dt}=const\cdot \frac{1}{\nu}$ , $\forall\nu\geq\nu_{min}$ $\nu_{min}$ je materiálová konstanta nezávislá na vlastnostech záření

Závislost na čase

Teorie	Experiment
Energie vlny se předává elektronu velkou rychlostí, přeto to nějakou dobu trvá: Atom je 100 krát menší než $\lambda$ Elektron e^- je 100 krát menší než atom

Teorie

Experiment

Energie vlny se předává elektronu velkou rychlostí, přeto to nějakou dobu trvá:

Atom je 100 krát menší než $\lambda$
Elektron e^- je 100 krát menší než atom

Kinetická energie

Teorie

Experiment

$E_{kin} ~ \xi_{elmag}$ , $\xi_{elmag} ~ I$
$I=c(\frac{1}{4\mu_0}B_0^2+\frac{1}{4}\varepsilon_0E_0^2)$ (B₀ a E₀ jsou střední hodnoty) $/Rightarrow$ $E_{kin}\ne f(\nu)$ , neboť $I\ne f(\nu)$

$E_{kin}\ne f(I)$
$E_{kin} = f(\mu) = A\mu-B$

Pro různé materiály: Kinetická energie vyražených elektronů pro Cs, K a Na
$\nu_{min}$ je materiálová konstanta
$\tg\alpha^{Cs}=\tg\alpha^{K}=\tg\alpha^{Na}=6,625\cdot 10^{-34} J\cdot s$

(3) Rozptyl elektromagnetického záření (Comptonův jev)

Očekávané výsledky (dle Maxwellovy teorie)	Experiment

Experimentem vydedukován vztah pro $\Delta\lambda$ : $\Delta\lambda=2,426\cdot10^{-12}\cdot(1-\cos\Phi) [m]$ (energie závisí na směru).

Potvrzení fotoefektu, navíc ta $\Delta\lambda$ .

(4) Vlnové vlastnosti Newtonovských částic

Začalo to u roentgenovské strukturní analýzy:

Roentgenovská strukturní analýza

$d=\frac{l\cdot\lambda}{\Delta r}$ (pro $\Delta r$ malé)

Davisson-Germerův experiment

Vše jako při RTG strukturní analýze, ale elektromagnetické záření se nahradí svazkem elektronů.
Davisson-Germerův experiment

Objekt, o kterém předpokládali, že je klasická Newtonovská částice (hmotná) se chová jako elektromagnetické vlnění - podléhá interferenci.
Zkoumali i souvislost interferenčního obrázku a hybnosti: znali d, změřili $\Delta r$ a l ==> vypočetli $\lambda$ :
$\lambda_{elektronu}=\frac{\Delta r\cdot d}{l}$ (1)
$\lambda_{elektronu}$ srovnávali s $p=\sqrt{2meU}$
$\doublevertl$
$\lambda_{elektronu}\cdot p=6,625\cdot10^{-34} J\cdot s$

Je zde asi nějaká hlubší souvislost - vystupuje zde stejná konstanta.

(5)Záření atomů

Podle zákonitostí klasické elektrodynamiky (Maxwell) by libovolný atom v důsledku vysílaného záření měl zaniknout za dobu kratší než 10^-10.

Ve skutečnosti jsou atomy stabilní a vyzařují energii neustále, aniž ji tam cokoli dodává.
Atomy září poněkud jinak než absolutně černé těleso.

spojité spektrální záření (spousta čarových, přístroji neměřitelných)
čarové spektrum záření - toto záření je neměnnou charakteristikou daného prvku

c	...	rychlost světla
V	...	objem absolutně černého tělesa
$d\nu$	...	šířka intervalu záření