Řěšený příklad 4 - Návrh kuličkového šroubu s předepnutou maticí jako finální člen

Ball screws

Kuličkový šroub se u posunových mechanizmů používá nejčastěji - důvodem je vysoká užitná hodnota pro většinu aplikací (přesnost, tuhost) a nízká cena ve srovnání s dalšími typy finálních převodů (hřeben se dvěma pastorky, hydrostatický šnek).

Pro posunové mechanizmy s vysokou přesností polohování se musí používat kuličkový šroub s předepnutou maticí.

Charakteristika předepnuté matice kuličkového šroubu

Závislost síly působící na matici na deformaci ve dvou částech matice M1, M2 je nelineární - nahrazuje se dvěma přímkami (viz Obr. 6). Z Obr. 6 je zřejmá mezní síla, která určuje pásmo předpětí matice dle vztahu:

……………………….(2 - 19)

Př.: SEQ Př.: \* ARABIC 4 - Kuličkový šroub a matice ( REF _Ref145993420 \h Obr. 7)

Dáno:

Tab. 1 - Zatěžovací stavy při obrábění

Stav	Posuvová síla (F_si)	Rychlost (v_si)	Doba běhu (T_i )	Poměrná doba běhu (q_i)
	N	m. min^-1	hod	-
1	50000	0,5	5000	0,34
2	33000	0,7	10000	0,66
Celková doba běhu	T_c	hod	15000	1

Zatěžování - pouze v 1 směru.

Maximální rychlost posuvu: v_M = 12 m/min

Délka pojezdu
Stoupání závitu

Stanovit:

Ø Rozměry šroubu a matice vzhledem k zatěžovacím parametrům (životnost)

Ø Způsob uložení šroubu (vzpěr, kritické otáčky, tuhost)

· Volba předpětí

Maximální síla:
Předpětí:

· volba šroubu v závislosti na stanoveném předpětí (F₀):

kde C_a je dynamická únosnost matice kuličkového šroubu, z katalogu šroubů se pak určí:

· d ….průměr

· h ….stoupání

· C₀…..statická únosnost

· C_a …..dynamická únosnost

· i ……počet závitů matice

· k_m….tuhost dvojice matic – v katalogu obvykle označena R, nebo R_nu,ar

Vzhledem k tomu, že předpětí matic kuličkového šroubu je vztaženo k dynamické únosnosti, musí se po předchozí volbě šroubu z katalogu stanovit nová hodnota předpětí tj.:

Dále se stanoví dle empirických vztahů ( REF _Ref145993420 \h Obr. 7):

· vzdálenost podpor:

· krajní poloha matice:

C_a = 150 kN

Výrobce: Kuřim

K100x20-4/AP+A

d = 100 mm

h = 20 mm

C₀ = 562,5 kN

C_a = 165,1 kN

i = 4

k_m = 2500 kN/mm

F₀ = 16,5 kN

L_p = 4,8 m

L_s = 4,4 m

Obr. 7 - Kuličkový šroub a matice - sestava

Zatěžovací stavy matice

Vnější zatížení matice kuličkového šroubu dané 2 stavy z REF _Ref145996639 \h Tab. 1 (F_si, v_si, q_i) se zadá do grafu předepnuté matice (Obr. 8) pro jeden smysl pohybu (zatěžovaný). Tím vzniknou celkem 2 zatěžovací stavy matice sestávající z částí M1 a M2. Zatížení částí matice M1 a M2 má tento tvar řádkových vektorů F₁, F₂:

F₁=………………….(2 - SEQ 2_- \* ARABIC 20)

F2= ………………………(2 - SEQ 2_- \* ARABIC 21)

kde je:

F_ai.............maximální síla působící na matici

F_bi.............minimální síla působící na matici

Graf zatížení předepnuté matice je rozdělen mezní silou F_L, která je určena vztahem (……………………….(2 - 19).

Výpočet F_ai, F_bi je pak určen vztahy:

· dvojice matic bude přenášet vnější síly v oblasti předepnutí v případě, že:

……………………………(2 - 22)

tj. pro se stanoví maximální a minimální síly působící na dvojici matic:

……..maximální síly………(2 - SEQ 2_- \* ARABIC 23)

……..minimální síly…………(2 - 24)

· dvojice matic bude přenášet vnější síly mimo oblast předepnutí v případě, že:

……………………………(2 - 25)

tj. pro se stanoví maximální a minimální síly působící na dvojici matic:

………maximální síly………………(2 - 26)

………..minimální síly………………(2 - 27)

Obr. 8 - Zatížení jednotlivých částí matice kuličkového šroubu

Z vektoru rychlostí v_s se stanoví vektor otáček n_r pro i = 1…2 dle vztahu:

……………………………………...(2 - 28)

Vektor poměrné doby běhu q se sestaví z prvků q_i určených pomocí vztahu:

………………………..(2 - 29)

Životnost kuličkového šroubu a matic

Tab. 2- Zatěžovací stavy matic kuličkového šroubu

Stav	Posuvová síla (F_si)	Zatížení matice 1 (F_1i)	Zatížení matice 2 (F_2i)	Otáčky šroubu (n_ri)	Doba běhu (T_i )	Poměrná doba běhu (q_i)
	N	N	N	min^-1	hod	-
1	50000	50000	0	25	5000	0,34
2	38000	38000	4900	35	10000	0,66
T_c				hod	15000	1
Max. otáčky šroubu: n_M = 600 min^-1

· střední otáčky:

……………(2 - 30)

31,6 min^-1

· střední působící síly:

· matice 1:

……………..(2 - 31)

41,9 kN

· matice 2:

………………..(2 - 32)

4,5 kN

· životnost:

· matice1:

……………………………………(2 - 33)

6,1*10⁷

· matice 2:

…………………………(2 - 34)

5*10¹⁰

· životnost šroubu a předepnuté dvojité matice

… ………(2 - 35)

32280 hod

· poměr životnosti k době běhu:

…………………………………(2 - 36)

2,2

Vzpěr šroubu

Kontrola šroubu na vzpěr se provádí podle výrobce kuličkových šroubů [3]:

· kritická síla

……………………………….(2 - SEQ 2_- \* ARABIC 37)

kde () je konstanta závislá na způsobu uložení kuličkového šroubu (Tab. 4).

· bezpečnost proti vzpěru:

…………………………………………(2 - SEQ 2_- \* ARABIC 38)

kde je maximální hodnota vnější síly

Tab. 3– Součinitel vzpěru [3], kritická síla, bezpečnost proti vzpěru

i	Způsob uložení konců šroubu	Součinitel vzpěru	Kritická síla	Bezpečnost proti vzpěru
			F_c	S_v
		-	kN	-
1	Vetknuto – vetknuto (2 oboustranná axiální ložiska)	22,4	1200	24,3
2	Vetknuto – podepřeno (1 oboustranné axiální ložisko + 1 radiální ložisko)	11,2	607,4	12,15
3	Podepřeno – podepřeno ( 2 jednostranná axiální ložiska)	5,6	303,7	6
4	Vetknuto – volné (1 oboustranné axiální ložisko)	1,4	76	1,5

Obr. 9- Typy uložení kuličkového šroubu

Kritické otáčky šroubu

Kontrola šroubu se provádí podle výrobce kuličkových šroubů [3]:

· kritické otáčky

…………………………(2 - 39)

kde () je konstanta závislá na způsobu uložení kuličkového šroubu

· bezpečnost max. otáček proti kritickým otáčkám:

………………………………….(2 - SEQ 2_- \* ARABIC 40)

kde jsou n_M maximální otáčky z Tab. 2

Tab. 4– Součinitel kritických otáček, kritické otáčky, bezpečnost vzhledem ke krit. otáčkám

i	Způsob uložení konců šroubu	Součinitel	Kritické otáčky	Bezpečnost
			n_c	S_n
		m/min	min^-1	-
1	Vetknuto – vetknuto (2 oboustranná axiální ložiska)	25,5	1300	2,2
2	Vetknuto – podepřeno (1 oboustranné axiální ložisko + 1 radiální ložisko)	17,7	914	1,5
3	Podepřeno – podepřeno ( 2 jednostranná axiální ložiska)	11,5	594	1
4	Vetknuto – volné (1 oboustranné axiální ložisko)	3,9	201	0,33