Základní křivočaré souřadnice v \(\mathbb{R}^3\) - cylindrické souřadnice

interaktivní doplněk ke skriptům Herbář funkcí a Prostory funkcí a řešitelnost základních typů PDR

Petr Girg, KMA, ZČU v Plzni


Stránka vznikla za podpory projektu Matematika pro inženýry 21. století - inovace výuky matematiky na technických školách v nových podmínkách rychle se vyvíjející informační a technické společnosti,

Reg. číslo: CZ.1.07/2.2.00/07.0332



Pokud se vám následující interaktivní aplikace nezobrazí, je třeba si stáhnout a nainstalovat CDF Document Player .



Cylindrické souřadnice

Převodní vztahy do kartézské soustavy

Převod mezi kartézskou a cylindrickou soustavou souřadnic je dán transformačním vztahem \[\begin{aligned} x & = \rho\cos\phi\,,\quad \rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi\,, \quad \phi\in [0, 2\pi)\,, \\ z & = z \,, \quad z\in \mathbb{R}\,. \end{aligned} \]

Převodní vztahy z kartézské soustavy

Inverzní tranformace je dána vztahem \[\begin{aligned} \rho & = \sqrt{x^2+y^2} \\ \phi & = \arctan_2(x, y)\,, \\ z & = z\,, \end{aligned} \] kde \[ \arctan_2(x, y)= \left\{ \begin{array}{lcr} \arctan(x/y) & & y > 0 \,,\quad x > 0\,, \\ \arctan(x/y) + \pi & & y > 0 \,,\quad x < 0\,, \\ \arctan(x/y) + \pi & & y < 0 \,,\quad x < 0\,, \\ \arctan(x/y) + 2\pi & & y < 0 \,,\quad x > 0\,, \\ \pi/2 & & y > 0 \,,\quad x = 0\,, \\ 3\pi/2 & & y < 0 \,,\quad x = 0\,, \\ \mbox{nedefinován} & & y = 0 \,,\quad x = 0\,. \end{array}\right.\]

Tato aplikace vypočte k dané trojici kartézských souřadnic \(x,y,z\) odpovídající cylindrické souřadnice \(\rho, \phi, \vartheta\).

Následující aplikace zobrazuje souřadnicové nadplochy příslušné cylindrickým souřadnicím \(\rho, \phi, z\). Systém \(\rho\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho_0\cos\phi \\ y & = \rho_0\sin\phi \,, \quad \phi\in [0, 2\pi)\,, \\ z & = z \,, \quad z\in\mathbb{R}\,, \end{aligned} \] kde \(\rho_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, +\infty)\). Systém \(\phi\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho\cos\phi_0 \,, \quad \rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi_0 \,, \\ z & = z \,, \quad z\in \mathbb{R}\,, \end{aligned} \] kde \(\phi_0\) je pevně zvolený parametr v rozsahu \([0, 2\pi)\). Systém \(z\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \rho\cos\phi \,, \quad \rho\in [0, +\infty)\,,\\ y & = \rho\sin\phi \,, \quad \phi\in [0, 2\pi)\\ z & = z_0\,, \end{aligned} \] kde \(z_0\) je pevně zvolený parametr nabývající hodnot z \(\mathbb{R}\).

Jakobián a objem omezený souřadnicovými nadplochami

\[ \left|\, \mathop{\mathrm{det}} \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial \rho} &\frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} &\frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial \rho} &\frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{array} \right) \right| = \left|\, \mathop{\mathrm{det}} \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi & -\rho \sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \rho \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \right| = \rho \] Následující aplikace zobrazuje křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami posunutými o \(h\rho, h\phi, h\vartheta\) a vypisuje hodnotu integrálu (objem tohoto segmentu): \[ \int_{\rho_0}^{\rho_0+h\rho}\int_{\phi_0}^{\phi_0+h\phi}\int_{\vartheta_0}^{\vartheta_0+h\vartheta}\, \rho \,\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\vartheta \]

Návod. Posuvníky je možno měnit souřadnice \(\rho_0, \phi_0, z_0\) levého dolního kvádru a délku jeho stran \(h\rho, h\phi, hz\). Kvádr se nám zobrazuje na levém obrázku v prostoru souřadnic \(\rho, \phi, z\). Na pravém obrázku vidíme obraz tohoto \((\rho, \phi, z)\)-kvádru v souřadnicích \(x, y, z\) - křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami. Pod obrázkem se nám zobrazuje objem tohoto segmentu.

Cylindrický element versus jeho lineární aproximace

Lineární aproximace cylindrického elementu je rovnoběžnostěn (zde dokonce kvádr), který je určen vrcholem \((\rho\cos\phi, \rho\sin\phi, z)\) a třemi vektory \(h\rho \vec{e}_{\rho}, h\phi \vec{e}_{\phi}, hz \vec{e}_{z}\), kde \[ \begin{array}{l} \vec{e}_{\rho}&\stackrel{\mathrm{\small{def}}}{=}& \left( \frac{\partial x}{\partial\rho}, \frac{\partial y}{\partial\rho}, \frac{\partial z}{\partial\rho} \right)^{\top} = \left(\cos\phi, \sin\phi, 0\right)^{\top} \\ \vec{e}_{\phi}&\stackrel{\mathrm{\small{def}}}{=}& \left( \frac{\partial x}{\partial\phi}, \frac{\partial y}{\partial\phi}, \frac{\partial z}{\partial\phi} \right)^{\top} = \left(-\rho\sin\phi, \rho\cos\phi, 0\right)^{\top} \\ \vec{e}_{z}&\stackrel{\mathrm{\small{def}}}{=}& \left( \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial y}{\partial z}, \frac{\partial z}{\partial z} \right)^{\top} = \left(0, 0, 1\right)^{\top} \end{array} \] a \(h\rho, h\phi, hz\) jsou reálná čísla.

Návod. Levý obrázek umístění \(\rho, \phi, z\)-kvádru, prostřední obrázek cylindrický element - obraz \(\rho, \phi, z\)-kvádru a jeho lineární aproximace. Pravý obrázek cylindrický element a jeho lineární aproximace v detailu. Cylindrický element má v obrázku červené obrysy a jeho lineární aproximace modré obrysy. Zmenšováním hodnot \(h\rho, h\phi, hz\) se cylindrický element stále více přimyká ke své lineární aproximaci.

Laplaceův operátor v cylindrických souřadnicích:

Laplaceův operátor v cylindrických souřadnicích: \[ \Delta u = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho\frac{\partial u}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\,. \] Výpočet Laplaceova operátoru funkce \(u(x,y,z) = \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\) užitím cylindrických souřadnic. Protože \(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\), dostaneme \[u(x,y,z) = \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\rho}=u(\rho, \phi, z)\,.\] \[ \Delta u = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho\frac{\partial \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\rho}}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\rho}}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 \mathop{\mathrm{\ln}}\frac{1}{\rho}}{\partial z^2} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho\frac{1}{\rho}\right) + 0 + 0 = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial\rho}\left(1\right) = 0 \,. \]