Další ortogonální souřadnice v \(\mathbb{R}^3\)

interaktivní doplněk ke skriptům Herbář funkcí a Prostory funkcí a řešitelnost základních typů PDR

Petr Girg, KMA, ZČU v Plzni


Stránka vznikla za podpory projektu Matematika pro inženýry 21. století - inovace výuky matematiky na technických školách v nových podmínkách rychle se vyvíjející informační a technické společnosti,

Reg. číslo: CZ.1.07/2.2.00/07.0332



Pokud se vám následující interaktivní aplikace nezobrazí, je třeba si stáhnout a nainstalovat CDF Document Player .



Protáhlé elipsoidální souřadnice

Převodní vztahy do kartézské soustavy

Převod mezi kartézskou a protáhlou elipsoidální soustavou souřadnic je dán transformačním vztahem \[\begin{aligned} x & = \ell\sinh\alpha\,\sin \beta\, \cos\phi\,,\quad \alpha\in (0, +\infty)\,,\\ y & = \ell\sinh\alpha\,\sin \beta\, \sin\phi \,, \quad \beta\in [0, \pi]\,, \\ z & = \ell\cosh\alpha\,\cos \beta\,, \quad \phi\in [0, 2\pi)\,, \end{aligned} \] kde parametr \(\ell>0\) je předem dán a vyjadřuje excentricitu ohnisek \(F_1\stackrel{\mathrm{def}}{=}[0,-\ell]\) a \(F_2\stackrel{\mathrm{def}}{=}[0,\ell]\).

Souřadnicové nadplochy

Systém \(\alpha\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \ell\sinh\alpha_0\,\sin \beta\, \cos\phi\,,\quad \beta\in (0, \pi)\,,\\ y & = \ell\sinh\alpha_0\,\sin \beta\, \sin\phi \,, \quad \phi\in (0, 2\pi)\,,\\ z & = \ell\cosh\alpha_0\,\cos \beta\,, \end{aligned} \] kde \(\alpha_0\in (0, +\infty)\) je pevně zvolený parametr. Systém \(\beta\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \ell\sinh\alpha\,\sin \beta_0\, \cos\phi\,,\quad \alpha\in (0, +\infty)\,,\\ y & = \ell\sinh\alpha\,\sin \beta_0\, \sin\phi \,,\quad\phi\in (0, 2\pi)\,, \\ z & = \ell\cosh\alpha\,\cos \beta_0\,, \end{aligned} \] kde \(\beta_0\in (0, \pi)\) je pevně zvolený parametr. Systém \(\phi\)-ploch je dán rovnicemi \[ \begin{aligned} x & = \ell\sinh\alpha\,\sin \beta\, \cos\phi_0\,,\quad \alpha\in (0, +\infty)\,,\\ y & = \ell\sinh\alpha\,\sin \beta\, \sin\phi_0 \,, \quad \beta\in (0, \pi)\,, \\ z & = \ell\cosh\alpha\,\cos \beta\,, \end{aligned} \] kde \(\phi_0\in (0, 2\pi)\,,\) je pevně zvolený parametr.

Následující aplikace zobrazuje souřadnicové nadplochy příslušné protáhlým elipsoidálními souřadnicím \(\alpha, \beta, \phi\).

Návod. Souřadnicové nadplochy jsou dány volbou parametrů \(\alpha_0, \beta_0, \phi_0\) na posuvnících \(\alpha_0, \beta_0, \phi_0\). Pomocí posuvníků \(x,y,z\) umístíme bod do prostoru s kartézskými souřadnicemi \(x,y,z\). Protáhlé elipsoidální souřadnice tohoto bodu lze zjistit graficky, pokud nastavíme souřadnicové \(\alpha-, \beta-, \phi-\)nadplochy tak, aby tento bod ležel v jejich průsečíku.

Jakobián a objem omezený souřadnicovými nadplochami

\[ \left|\, \mathop{\mathrm{det}} \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial \alpha} & \frac{\partial x}{\partial \beta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial \alpha} & \frac{\partial y}{\partial \beta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\ \frac{\partial z}{\partial \alpha} & \frac{\partial z}{\partial \beta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{array} \right) \right| = \left|\, \mathop{\mathrm{det}} \left( \begin{array}{ccc} \ell \cosh\alpha\,\sin\beta\,\cos\phi & \ell\sinh\alpha\,\cos\beta\,\cos\phi & -\ell\sinh\alpha\,\sin\beta\,\sin\phi\\ \ell \cosh\alpha\,\sin\beta\,\sin\phi & \ell\sinh\alpha\,\cos\beta\,\sin\phi & \ell\sinh\alpha\,\sin\beta\,\cos\phi\\ \ell \sinh\alpha\,\cos\beta & -\ell\cosh\alpha\,\sin\beta & 0 \\ \end{array} \right) \right| = \ell ^3 \sinh\alpha\,|\sin\beta|\,\left(\sinh ^2\alpha + \sin ^2 \beta\right) \] Následující aplikace zobrazuje křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami posunutými o \(h\alpha, h\beta, h\phi > 0\) a vypisuje hodnotu integrálu (objem tohoto segmentu): \[ \begin{array}{l} \int_{\alpha_0}^{\alpha_0+h\alpha} \int_{\beta_0}^{\beta_0+h\beta} \int_{\phi_0}^{\phi_0+h\phi} \, \ell ^3 \sinh\alpha\,|\sin\beta|\,\left(\sinh ^2\alpha +\sin ^2\beta \right) \,\,\mathrm{d}\alpha\,\mathrm{d}\beta\,\mathrm{d}\phi = \\ = \frac{1}{12} h\phi\,\ell^3 \bigl\{ [ \cosh (\alpha)-\cosh (\alpha+h\alpha) ] [ \cos (3 \beta)-\cos (3 (\beta+h\beta)) ] - \\ - [ \cosh (3 \alpha)-\cosh (3 (\alpha+h\alpha)) ] [ \cos (\beta)-\cos (\beta+h\beta) ] \bigr\} \end{array} \]

Návod. Posuvníky je možno měnit souřadnice \(\alpha_0, \beta_0, \phi_0\) levého dolního kvádru a délku jeho stran \(h\alpha, h\beta, h\phi\). Kvádr se nám zobrazuje na levém obrázku v prostoru souřadnic \(\alpha, \beta, \phi\). Na pravém obrázku vidíme obraz tohoto \((\alpha, \beta, \phi)\)-kvádru v souřadnicích \(x, y, z\) - křivočarý segment omezený souřadnicovými nadplochami. Pod obrázkem se nám zobrazuje objem tohoto segmentu.

Elipsoidální element versus jeho lineární aproximace

Lineární aproximace elementu je rovnoběžnostěn (zde dokonce kvádr), který je určen vrcholem \((\ell\sinh\alpha\,\sin\beta\cos\phi,\, \ell\sinh\alpha\,\sin\beta\sin\phi, \ell\cosh\alpha\,\cos\beta)^{\top}\) a třemi vektory \(h\alpha\vec{e}_{\alpha}, h\beta\vec{e}_{\beta}, h\phi\vec{e}_{\phi}\), kde \[ \begin{array}{l} \vec{e}_{\alpha}&\stackrel{\mathrm{\small{def}}}{=} & \left( \frac{\partial x}{\partial\alpha}, \frac{\partial y}{\partial\alpha}, \frac{\partial z}{\partial\alpha} \right)^{\top} = \left( \ell\cosh\alpha\,\sin\beta\cos\phi,\, \ell\cosh\alpha\,\sin\beta\sin\phi,\, \ell\sinh\alpha\,\cos\beta \right)^{\top} \\ \vec{e}_{\beta}&\stackrel{\mathrm{\small{def}}}{=} & \left( \frac{\partial x}{\partial\beta}, \frac{\partial y}{\partial\beta}, \frac{\partial z}{\partial\beta} \right)^{\top} = \left( \ell\sinh\alpha\,\cos\beta\cos\phi,\, \ell\sinh\alpha\,\cos\beta\sin\phi, -\ell\cosh\alpha\,\sin\beta \right)^{\top} \\ \vec{e}_{\phi}&\stackrel{\mathrm{\small{def}}}{=} & \left( \frac{\partial x}{\partial\vartheta}, \frac{\partial y}{\partial\vartheta}, \frac{\partial z}{\partial\vartheta} \right)^{\top} = \left( -\ell\sinh\alpha\,\sin\beta\sin\phi,\, \ell\sinh\alpha\,\sin\beta\cos\phi, 0 \right)^{\top} \end{array} \] a \(h\alpha, h\beta, h\phi > 0\) jsou reálná čísla.

Návod. Levý obrázek umístění \(\alpha, \beta, \phi\)-kvádru, prostřední obrázek elipsoidální element - obraz \(\alpha, \beta, \phi\)-kvádru. Pravý obrázek elipsoidální element a jeho lineární aproximace v detailu. Elipsoidální element má v obrázku červené obrysy a jeho lineární aproximace modré obrysy. Zmenšováním hodnot \(h\alpha, h\beta, h\phi\) se elipsoidální element stále více přimyká ke své lineární aproximaci.