Příklady výpočtů relaxačních generátorů

Příklad č.1

Nakreslete průběhy u_C a u₂ v závislosti na čase a vypočítejte obecně kmitočet napětí u₂.

Řešení:

OZA pracuje jako integrátor, integrující výstupní napětí u₂ z OZB, který pracuje jako komparátor s hysterezí. Výstup komparátoru nabývá hodnot +u_SAT nebo -u_SAT. Napětí u_C je tedy dáno vztahem:

Vztah lze upravit do tvaru:

ze kterého je lépe vidět časová změna napětí u_C v závislosti na hodnotě napětí na výstupu komparátoru.

Pokud je na výstupu komparátoru napětí +u_SAT, napětí u_C na výstupu integrátoru lineárně klesá s časovou konstantou R₄C₁. Jakmile dosáhne dolní překlápěcí úrovně komparátoru, komparátor se překlopí a na jeho výstupu se objeví napětí -u_SAT. Napětí u_C na výstupu integrátoru začne lineárně stoupat opět s časovou konstantou R₄C₁. Jakmile dosáhne horní překlápěcí úrovně komparátoru, komparátor se překlopí a na jeho výstupu se objeví napětí +u_SAT. Výstupní napětí integrátoru začne opět lineárně klesat a celý děj se periodicky opakuje.

K překlápění komparátoru dochází v okamžiku, kdy je napětí mezi diferenčními vstupy nulové. Je-li na výstupu komparátoru napětí +u_SAT, je dioda D₁ zavřená a k překlopení komparátoru dojde, pokud bude platit:

tj. pokud výstup integrátoru dosáhne hodnoty:

která bývá označována jako dolní komparační úroveň u_K-.
Je-li na výstupu komparátoru napětí -u_SAT, je dioda D₁ otevřená a k překlopení komparátoru dojde, pokud bude platit:
tj. pokud výstup integrátoru dosáhne hodnoty:

která bývá označována jako horní komparační úroveň u_K+.

K určení periody a kmitočtu potřebujeme znát dobu, za kterou výstupní napětí integrátoru přejde od dolní komparační úrovně k horní. Tato doba je rovna polovině periody. Rozdíl u_K+ - u_K- odpovídá šířce hysterezní smyčky a v našem případě je dán vztahem:

Polovinu periody tedy můžeme určit ze vztahu:

Po úpravě dostáváme:

Doba celé periody je:

A kmitočet:

Průběhy u_C a u₂ jsou na následujícím obrázku:

Příklad č.2

Nakreslete průběhy u₁ a u₂ v závislosti na čase a vypočítejte obecně kmitočet napětí u₂.

Řešení:

OZA pracuje jako integrátor, integrující výstu z OZB, který pracuje jako komparátor s hysterezí. Výstup komparátoru nabývá hodnot +u_SAT nebo -u_SAT. Proud i_L je tedy dán vztahem:

Vztah lze upravit do tvaru:

ze kterého je lépe vidět časová změna proudu i_L v závislosti na hodnotě napětí na výstupu komparátoru. Pokud je na výstupu komparátoru napětí +u_SAT, proud i_L lineárně klesá, pokud je výstup komparátoru v úrovni -u_SAT, proud i_L lineárně roste.

Napětí u₁ na výstupu integrátoru je přímo úměrné proudu i_L. Pokud je proud kladný (ve smyslu šipky nakreslené ve schématu), je dioda D1 zavřená a proud i_L teče přes rezistory R₁ a R₂. Napětí u₁ se tedy mění s časem podle vztahu:

Je-li proud i_L záporný, je dioda D1 otevřená a proud i_L teče pouze rezistorem R₂. Časovou změnu napětí u₁ lze tedy vyjádřit vztahem:

Ze vztahů je vidět, že při kladném proudu i_L je strmost změny napětí u₁ větší než při záporném proudu i_L. V grafu průběhu u₁ se tato nesymetrie projeví tak, že strmost změn u₁ nad osou bude větší než strmost změn pod osou.

Stejně jako v předchozím příkladu se bude napětí u₁ na výstupu integrátoru měnit priodicky od dolní překlápěcí úrovně komparátoru k horní překlápěcí úrovni a zpět. Komparátor je obyčejný neinvertující komparátor s hysterezí. K překlopení komparátoru dochází v okamžiku, kdy je napětí mezi diferenčními vstupy nulové. Je-li na výstupu komparátoru napětí +u_SAT, dojde k překlopení v okamžiku kdy:
Odtud lze vyjádřit dolní komparační úroveň:

Je-li na výstupu komparátoru napětí -u_SAT, dojde k překlopení v okamžiku kdy:

Odtud lze vyjádřit horní komparační úroveň:

K určení periody a kmitočtu potřebujeme znát dobu, za kterou výstupní napětí integrátoru přejde od dolní komparační úrovně k horní a zpět. Tato doba je rovna periodě T a lze ji rozdělit na dobu T₁, za kterou napětí u₁ přejde od nuly k dolní komparační úrovni a zpět k nule a na dobu T₂, za kterou napětí u₁ přejde od nuly k horní komparační úrovni a zpět k nule.
Po dobu T₁ je proud i_L záporný a dioda D1 je otevřená. Dobu T₁ lze tedy určit ze vztahu:

Po úpravě dostáváme:

Po dobu T₂ je proud i_L kladný a dioda D1 je zavřená. Dobu T₂ lze tedy určit ze vztahu:

Po úpravě dostáváme:

Celková perioda T je rovna součtu doby T₁ a T₂:

A odtud kmitočet:

Průběhy u₁ a u₂ jsou na následujícím obrázku:

Příklady na výpočty relaxačních generátorů