Slovní úlohy o pohybu
Grafické řešení pomocí softwaru dynamické geometrie
Autoři: Lukáš Honzík, Světlana Tomiczková
Oblast RVP: Matematika a její aplikace
Předmět: Matematika
Anotace: Využití programu dynamické geometrie (např. GeoGebra) pro řešení slovních úloh (konkrétně slovních úloh o pohybu) využitím grafické metody. Řada slovních úloh řešitelná i užitím grafické metody řešení, která je navíc oproti klasickému řešení výpočtem vesměs dosti názorná, například ve slovních úlohách o pohybu lze do kartézské soustavy souřadnic zaznamenat uražené vzdálenosti objektů a na základě znázorněných skutečností určit kupříkladu čas setkání apod. V programech dynamické geometrie lze dát tématu důležitý interaktivní rozměr, který umožní i experimentální a zároveň efektivní řešení těchto úloh s parametrem.
Časová dotace: 2 vyučovací hodiny
Ročník: 8.-9. třída
Cíle a výstupy: žák rozumí vztahu mezi rychlostí, časem a dráhou a dokáže zmíněnou závislost graficky znázornit, dokáže grafické znázornění závislosti času, dráhy a rychlosti dokáže interpretovat, žák dokáže posoudit správnost řešení, žák porozumí důležitosti optimalizace v praktickém životě, žák chápe smysl parametru v úloze a jeho vliv na výsledek
Úvod
Úlohy typu "za sebou"
- Úloha č. 1
Vzdálenost mezi Brnem a Prahou je po dálnici 200 kilometrů. Z Brna vyjel směrem na Prahu automobil jedoucí stálou rychlostí 95 km/h. Půl hodiny poté vyrazil stejnou cestou motocyklista na motorce stálou rychlostí 130 km/h. Dokáže motocyklista dohonit automobil ještě před Prahou?
dynamická figura
pomocný dokument s popisem řešení
- Úloha č. 1 - rozšířená
Vzdálenost mezi Brnem a Prahou je po dálnici 200 kilometrů. Z Brna vyjel směrem na Prahu automobil jedoucí stálou rychlostí 95 km/h. Půl hodiny poté vyrazil stejnou cestou motocyklista na motorce stálou rychlostí 130 km/h. Dokáže motocyklista dohonit automobil ještě před Prahou? Pokud ano, jakou rychlostí by musel automobilista jet, aby ho motocykl nedohonil?
dynamická figura
pomocný dokument s popisem řešení
- Úloha č. 2
Za vozidlem s nadměrným nákladem pohybujícím se rychlostí 16 km/h vyrazilo za 2,5 hodiny doprovodné vozidlo, které jej musí dostihnout do 45 minut. Jakou musí (resp. může) jet rychlostí?
dynamická figura
pomocný dokument s popisem řešení
- Úloha č. 3
V 9 hodin vyjel cyklista směrem na Tábor rychlostí 20 km/h. O hodinu později za ním vyrazil jezdec na mopedu a o další hodinu později osobní automobil, který jel dvojnásobnou rychlostí než mopedista. Automobil pak dojel moped v té samé chvíli, kdy míjel cyklistu. Určete v kolik hodin a jak daleko od Plzně k tomu došlo.
dynamická figura
pomocný dokument s popisem řešení
Úlohy typu "proti sobě"
- Úloha č. 4
Mezi Prahou a Plzní je vzdálenost 100 kilometrů. V 9 hodin vyjel z Prahy rychlík směrem do Plzně stálou rychlostí 90 km/h. Ve stejnou chvíli vyrazil z Plzně do Prahy osobní vlak stálou rychlostí 60 km/h. Určete, v kolik hodin a jak daleko od Prahy se oba vlaky potkají.
dynamická figura
pomocný dokument s popisem řešení
- Úloha č. 5
Městečka Svojšín, Chlebany a Moravín leží za sebou na téže silnici. Vzdálenost ze Svojšína do Chleban je 14 km. Ve 13 hodin vyjel z Chleban směrem k Moravínu cyklista rychlostí 12 km/h. Ve 14:10 vyjelo ze Svojšína rovněž směrem k Moravínu osobní auto rychlostí 68 km/h. Konečně ve 14:20 vyjelo z Moravínu směrem do Chleban nákladní auto rychlostí 45 km/h. Všichni tři se setkali v týž okamžik. Kdy došlo k setkání? V jaké vzdálenosti od Chleban to bylo? Jaká je vzdálenost mezi Svojšínem a Moravínem?
dynamická figura
pomocný dokument s popisem řešení
- Úloha č. 6
Vzdálenost z Mariánských Lázní do Prahy je 162 km. Z obou měst současně vyjela proti sobě dvě auta. Auto z Mariánských lázní jelo stálou rychlostí 75 km/h, auto z Prahy stálou rychlostí 60 km/h. Kdy se potkají a jak daleko od Mariánských Lázní to bude?
dynamická figura
pomocný dokument s popisem řešení
- Úloha č. 7
Ze stanic A a B, vzdálených od sebe 119 km, jedou proti sobě dva vlaky. Osobní vlak vyjel z místa A v 8 hodin a jede stálou rychlostí 30 km/h. Rychlík jede rychlostí 50 km/h a vyjel ze stanice B o půl hodiny později než osobní vlak ze stanice A. V kolik hodin se oba vlaky setkají a jak daleko od stanice B.
dynamická figura
pomocný dokument s popisem řešení
Bonusová úloha
- Členové turistického oddílu vyrazili na pětidenní turistický výlet, kde ušli celkem 80 km. První den ušli dvakrát víc než druhý den, třetí den ušli trojnásobek druhého dne, čtvrtý den šli o pět méně než první den a poslední den turisté ušli pouze polovinu druhého dne. Kolik turisté ušli první, druhý, třetí, čtvrtý a pátý den?
dynamická figura
pomocný dokument s popisem řešení